Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Сглаживание функции

В тех случаях, когда промежуток [ а, b ], на котором нужно подменить функцию f(x) функцией φ (х), велик и отсутствуют основания считать функцию f(x) достаточно гладкой при , нет смысла пытаться повышать качество ее полиномиальной аппроксимации за счет использования в роли φ (х) многочленов высоких степеней. Более перспективным в этих условиях является применение кусочно-полиномиальной аппроксимации функции f(x). Предполагается, что функция φ (х) составляется из отдельных многочленов, как правило, одинаковой и невысокой степени, определенных каждый на своей части отрезка [ a, b ]. При этом, если функция f(x) непрерывна и имеется достаточное количество точечной информации о ней, можно рассчитывать приблизить ее на этом отрезке сколь угодно хорошо кусочно-полиномиальной функцией φ (х) только за счет увеличения числа частичных промежутков, составляющих данный отрезок, при любых фиксированных степенях составных многочленов и любых способах согласования f(x) и φ (х). Использование низких степеней многочленов, составляющих φ (х), позволяет легко находить их коэффициенты как из интерполяционных, так и из иных условий (например, аппроксимации методом наименьших квадратов).

Пусть функция f(x) задана таблично (см. таблицу 17). Требуется аппроксимировать ее функцией φ (х), выполняя условия интерполяции . Применим кусочно-линейную функцию φ (х) в виде:

.

Иначе, нелинейная функция f(x) на всем отрезке заменяется линейными отрезками на каждом из п – участков (ломаная линия). В результате имеем п линейных уравнений, а соответственно п пар коэффициентов a_k, b_k (k=1, 2, …n). Они достаточно легко находятся, так как для каждого кусочно-линейного участка можно записать пару уравнений:

; ; ….

для участков ; ; …. .

Нетрудно видеть, что коэффициенты уравнений можно рассчитать по формулам:

; .

Аналогично функцию f(x) можно заменить кусочно-квадратичной функцией:

, где .

Очевидно, что, так как для определения уже трех неизвестных коэффициентов в квадратичных функциях требуются три уравнения типа (например, при п=4):

;

; ,

то количество интервалов интерполирования п должно быть обязательно четным.

Фактически речь идет о последовательной линейной интерполяции по перемещаемым вдоль отрезка парам соседних узловых точек разбиения или о последовательной квадратичной интерполяции по тройкам таких точек.

Задача 20. Для функции f(x), заданной таблично, выполнить кусочно-линейную и кусочно-квадратическую интерполяцию.

		0, 5	1, 0	2, 0	3.0	4, 0	5, 0
	1, 5			2, 0	2, 0	1, 0	2, 0

Решение. Осуществляя линейное интерполирование на шести участках, запишем систему линейных уравнений:

; ;

; ; .

Из этих парных систем линейных уравнений получаем:

; ; ; ; ; .

Тогда окончательно получаем кусочно-линейную интерполяционную функцию φ ₁(х):

Кусочно-квадратичное интерполирование по тройкам известных точек отрезков ; ; позволяет построить интерполяционную функцию φ ₂(х):

.

Графики функций φ ₁(х) и φ ₂(х) приведены на рисунках 20а, б, соответственно.

Рисунок 20 - Кусочно-интерполированные функции

Кусочно-линейная аппроксимация таблично заданных функций, проводимая на основе метода наименьших квадратов, приводит к понятию линейного фильтра. Рассмотрим общие представления о нем.

Предположим, что функция f(x) задается “длинной “ таблицей значениями f_i(x_i) на системе равноотстоящих точек . Пусть также известно, что некоторые из значений f(x) могут содержать достаточно большие случайные ошибки (“выбросы“). Тогда, прежде чем производить какую-либо математическую обработку таких данных, целесообразно сначала произвести их сглаживание, чтобы уменьшить роль выбросов. Рассмотрим общий принцип одного из простейших подходов к такому сглаживанию.

Если при кусочно-линейной интерполяции линейная функция на элементарном отрезке однозначно определялась по двум точкам из условия совпадения ее значений в них со значениями , то здесь рассматривается отрезок длиной 2h (т.е. включающий три опорные точки . На этом трехточечном отрезке функция f(x) подменяется приближением φ _i(х), построенным по трем точкам, причем φ _i(х) получают кусочно-линейной или кусочно-квадратической аппроксимацией методом наименьших квадратов (но не интерполяцией). Получив функцию φ _i(х), вычисляют значение φ _i(х_i) и затем заменяют значение f(x_i) значением φ _i(х_i). Перемещаясь таким образом по всему отрезку , т.е.варьируя i от 1 до (п-1), получают новую таблицу функции f(x). Безусловно, эту процедуру можно выполнить и для отдельных участков задания функции. Например, в таблице 20 экспериментальные точки можно “улучшить“, применив подобную фильтрацию.

Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и в зависимости от вида кусочной аппроксимации называется линейным или квадратическим фильтром. Большое значение процедура фильтрации (“ сглаживания“) играет в теории цифровой обработки сигналов (например, борьба с помехами в сигнале, повышение четкости изображения и т.д.). Отметим, что осреднение проводят и по большему числу точек, а иногда осуществляют двойную фильтрацию табличных данных. Однако при многократной (глубокой) фильтрации есть риск потерять полезную информацию о таблично заданной функции.