Формула прямоугольников

Сущность принципа квадратуры при численном интегрировании рассмотрена выше. Иначе – вычислить определенный интеграл означает вычислить площадь нелинейной трапеции. Численным методом это, например, можно сделать следующим образом. Отрезок разбивают на п равных частей и на каждом из участков разбиения строят, например, прямоугольник, площадь

каждого из которых будет равна:

.

Тогда .

Разбиение криволинейной трапеции на прямоугольники может быть выполнена тремя способами.

1) В качестве выбирают левую границу участка разбиения. Тогда

и .

Графически этот способ представлен для нисходящей и восходящей функций, на рисунке 21а, б, соответственно.

Рисунок 21 - К выводу формулы прямоугольников с левыми ординатами

2) В качестве выбирают правую границу участка разбиения. Тогда

и .

Графически этот способ представлен на рисунке 22.

Рисунок 22 - К выводу формулы прямоугольников с правыми ординатами

Квадратурная формула первого типа называется формулой прямоугольников с левыми ординатами, а второго типа – формулой прямоугольников с правыми координатами.

3) В качестве выбирают середину участка разбиения, т.е.

,

и .

Графическая интерпретация способа представлена на рисунке 23. Квадратурная формула третьего типа называется формулой прямоугольников с центральными ординатами.

Рисунок 23 - К выводу формулы прямоугольников с центральной ординатой

Как видно из графических построений, в любом случае возникает погрешность вычислений (заштрихованные зоны). Величина и знак погрешности зависит от подынтегральной функции, от величины отрезка интегрирования и количества участков разбиения п. Для интегрирования по формулам прямоугольников с правыми или левыми ординатами погрешность вычислений определяется по формуле:

,

где ,

т.е. максимальное значение первой производной функции f(x) на участке интегрирования. Если функция задана таблично, то это максимальное (абсолютное) значение конечной разности первого порядка.

Для интегрирования по формуле прямоугольников с центральными ординатами погрешность вычислений определяется по формуле:

,

где ,

т.е. максимум второй производной функции на участке интегрирования (максимум конечной разности второго порядка). Несомненно, интегрирование по третьему методу дает более низкую погрешность.