Эквивалентные преобразования электрических цепей

Если цепь с одним источником ЭДС включает в себя участки с только последовательным и параллельным соединением приемников, то расчет токов ветвей можно провести методом свертывания в следующей последовательности.

1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.

2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным (рис. 2.1) или параллельным (рис. 2.2) соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления.

3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) сопротивление всей цепи.

4. По заданному напряжению источника и вычисленному общему сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).

5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на следующем примере.

Пример. В цепи (схема на рис. 2.3, а) сопротивления R ₆ и R ₇ заменим на R ₆₇= R ₆+ R ₇ (рис. 2.3, б). Сопротивления R ₅, R ₆ и R ₇ заменим на R ₅₇=(R ₅ R ₆₇)/(R ₅+ R ₆₇) (рис. 2.3, в). Сопротивления R ₄, R ₅, R ₆ и R ₇ заменим на R ₄₇= R ₄+ R ₅₇ (рис. 2.3, г). Сопротивления R ₂ и R ₄₇ заменим на R ₂₄₇=(R ₂ R ₄₇)/(R ₂+ R ₄₇) (рис. 2.3, д). Наконец, найдем R _экв= R ₁+ R ₃+ R ₂₄₇.

В получившейся цепи (рис. 2.4) найдем ток I в неразветвленной части цепи путем элементарного расчета по закону Ома для участка цепи. Для остальных схем, следуя в обратном порядке (от д к а) найдем напряжения на элементах по закону Ома и токи ветвей по первому закону Кирхгофа.

Расчет некоторых сложных электрических цепей значительно упрощается, если преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду или звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.

Контур, состоящий из трех сопротивлений R_AB, R_BC и R_CA, имеющий три узловые точки A, B и C, образует треугольник сопротивлений (рис. 2.5, а).

Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений R_A, R_B и R_C, соединенных в одной узловой точке O, образует звезду сопротивлений (рис. 2.5, б).

Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками A, B и С токи I_A, I_B и I_C звезды и треугольника оставались без изменений.

Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.

При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое сопротивление треугольника определяется следующими выражениями:

Пример. Определить ток в неразветвленной части цепи (рис. 2.6, а) при следующих исходных данных: E =2, 2 В; R ₁=10 Ом; R ₂=30 Ом; R ₃=60 Ом; R ₄=4 Ом; R ₅=22 Ом.

Решение. Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам A, B и C, эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 2.6, б).

Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Расчет сопротивления вновь полученной цепи производим методом свертывания.

R_{a, 4}, = R_a + R ₄=6+4=10 Ом; R_{c, 5}= R_c + R ₅=18+22=40 Ом.

Поскольку сопротивления между собой соединены параллельно, их общее сопротивление будет равно

а общее сопротивление схемы (см. рис. 2.6, б) R = R_b + R_{a, 4, c, 5}=3+8=11 Ом. Тогда ток в неразветвленной части цепи I ₀= E / R =2, 2/11=0, 2 А.