Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть ДСВ X имеет закон распределения:

Математическим ожиданием (МО) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значении на их вероятности: (6)

Из этого определения следует, что МО есть некоторая постоянная неслучайная величина. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно среднему арифметическому значению случайной величины. МО в точности совпадает со средним арифметическим, если все вероятности значений ДСВ в формуле (6) равны, а именно, р_i = р= 1/ п

Пример 4. Найти МО невозврата кредитов по данным примера 2.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения ДСВ, данной в этом примере и формулой (6):

M (X) = 5 ^. 0, 00032 + 4 ^. 0, 0064 + 3 ^. 0, 0512
+ 2 ^. 0, 2048 + 1 ^. 0, 4096 + 0 ^. 0, 32768 = 1

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

M (С) = С (7)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (сХ) = сМ (Х) (8)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М (Х₁ + Х₂ + … + Х_m) = М (Х₁) + М (Х₂) + … + М (Х_m) (9)

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М (Х₁ Х₂ … Х_m) = М (Х₁) М (Х₂) … М (Х_m) (10)

Пример 5. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется закону распределения

Найти МО ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден.ед.

Решение. Очевидно, что ежедневная прибыль подсчитывается по формуле:

П = 150 Х – 120

Искомое МО находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.):

М (П) = М (150 Х – 120) = 150 М (Х) – 120 = 150 ^. 2, 675 – 120 = 281, 25