Операции над множествами. Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A или B

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A или B. Знак операции объединения в Паскале «+».

Примеры:

1) [1, 2, 3, 4] + [3, 4, 5, 6] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]

2) []+[‘a’..’z’]+[‘A’..’E’, ‘k’] => [‘A’..’E’, ‘a’..’z’]

3) [5< 4, true and false] + [true] => [false, true]

Пересечением двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, одновременно входящих во множество A и во множество B.

Знак операции пересечения в Паскале «*»

Примеры:

1) [1, 2, 3, 4] * [3, 4, 5, 6] => [3, 4]

2) [‘a’..’z’]*[‘A’..’E’, ‘k’] => [‘k’]

3) [5< 4, true and false] * [true] => []

Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, не входящих во множество B.

Примеры:

1a) [1, 2, 3, 4] - [3, 4, 5, 6] => [1, 2]

1b) [3, 4, 5, 6] - [1, 2, 3, 4] => [5, 6]

2a) [‘a’..’z’]-[‘A’..’E’, ‘k’] => [‘a’..’j’, ‘i’..’z’]

2b) [‘A’..’E’, ‘k’] - [‘a’..’z’] => [‘A’..’E’]

3a) [5< 4, true and false] - [true] => [false]

3b) [true] - [5< 4, true and false] => [true]

Операция вхождения. Это операция, устанавливающая связь между множеством и скалярной величиной, тип которой совпадает с базовым типом множества. Если x — такая скалярная величина, а M — множество, то операция вхождения записывается так: x in M.

Результат — логическая величина true, если значение x входит в множество M, и false — в противном случае.

Например, 4 in [3, 4, 7, 9] –– true, 5 in [3, 4, 7, 9] –– false.

Используя данную операцию, можно не только работать с элементами множества, но и, даже если в решении задачи явно не используются множества, некоторые логические выражения можно записать более лаконично.

1) Натуральное число n является двухзначным. Вместо выражения (n > = 10) and (n < =99) можно записать n in [10..99].

2) Символ c является русской буквой. Вместо выражения (c > = ‘А’) and (c < = ‘Я’) or (c> =‘а’) and (c< =‘п’) or (c> =‘р’) and (c< =‘я’) пишем c in [‘А’.. ‘Я’, ‘а’.. ‘п’, ‘р’.. ‘я’] и т.д.

Добавить новый элемент в множество можно с использованием операции объединения. Например, a: = a+[5] Для этих же целей в Turbo Pascal 7.0 предназначена процедура Include: include (M, A) M – множество, A – переменная того же типа, что и элементы множества M. Тот же пример можно записать так: Include (a, 5)

Исключить элемент из множества можно с помощью операции «разность множеств». Например, a: = a-[5] Для этих же целей в Turbo Pascal 7.0 предназначена процедура Exclude: exclude (M, A) M – множество, A – переменная того же типа, что и элементы множества M. Тот же пример можно записать так: Exclude (a, 5)

Рассмотрим несколько примеров использования множеств при решении задач.

Задача 1. В городе имеется n высших учебных заведений, которые производят закупку компьютерной техники. Есть шесть компьютерных фирм: «Диалог», «Avicom», «Нэта», «Сервер», «Декада», «Dega.ru». Ответить на следующие вопросы:
1) в каких фирмах закупка производилась каждым из вузов?
2) в каких фирмах закупка производилась хотя бы одним из вузов?
3) в каких фирмах ни один из вузов не закупал компьютеры?

Решим задачу с использованием множеств. Для удобства дальнейших манипуляций в порядке следования занумеруем компьютерные фирмы, начиная с единицы. Занесём информации о месте закупок компьютеров каждым из вузов в отдельное множество.

Ответ на первый вопрос можно получить, выполнив пересечение всех таких множеств.

Ответ на второй вопрос – результат объединения множеств.

И, наконец, на последний – разность множества всех фирм и множества фирм, где хотя бы один вуз делал покупки.

program ex_set_1;

type firma = set of 1..6;

v = array[0..20] of firma;

const f: array [1..6] of string[10] = ('Диалог', 'Avicom', 'Нэта', 'Сервер', 'Декада', 'Dega.ru');

{процедура ввода информации о закупке компьютеров в очередной фирме}

procedure vvod(var a: firma);

var i: byte; ans: 0..1;

begin

a: = [];

for i: = 1 to 6 do

begin

Write('Вуз покупал компьютеры в фирме ', f[i], ' (1 - да, 0 - нет)? '); ReadLn(ans);

if ans = 1 then a: =a+[i]

end;

end;

{процедура вывода элементов массива, номера которых содержатся в множестве}

procedure Print(a: firma);

var i: byte;

begin

for i: = 1 to 6 do if i in a then write(f[i]: 10);

writeln

end;

{Процедура, дающая ответ на первый вопрос}

procedure Rez1(a: v; n: byte; var b: firma);

var i: byte;

begin

b: = [1..6];

for i: = 0 to n-1 do b: = b * a[i];

end;

{Процедура, дающая ответ на второй вопрос}

procedure Rez2(a: v; n: byte; var b: firma);

var i: byte;

begin

b: = [];

for i: = 0 to n-1 do b: = b + a[i];

end;

var a: v; n, i: byte; c: firma;

begin

write('Сколько вузов делали закупку? '); readln(n);

for i: = 0 to n-1 do vvod(a[i]);

Rez1(a, n, c);

writeln('Каждый из вузов закупил компьютеры в фирмах: '); Print(c);

Rez2(a, n, c);

writeln('Хотя бы один из вузов закупил компьютеры в фирмах: '); Print(c);

writeln('Ни один из вузов не закупил компьютеры в фирмах: '); Print([1..6]-c);

end.

Задача 2. Сгенерировать n множеств (нумерацию начать с 1). Вывести элементы, которые входят во все множества с номерами, кратными трём, но не входят в первое множество.

program ex_set_2;

type mn = set of byte;

v = array[1..30] of mn;

{процедура ввода информации в очередное множество}

procedure vvod(var a: mn);

var i, n, vsp: byte;

begin

a: = []; n: = 1 +random(200);

for i: = 1 to n do

begin

vsp: = random(256);

a: =a+[vsp]

end;

end;

{процедура вывода элементов множества}

procedure Print(a: mn);

var i: byte;

begin

for i: = 0 to 255 do if i in a then write(i: 4);

writeln

end;

{Процедура, дающая ответ на вопрос}

procedure Rez(a: v; n: byte; var b: mn);

var i: byte;

begin

b: = [0..255];

i: = 3;

while i < = n do

begin

b: = b * a[i];

i: = i + 3

end;

b: = b - a[1]

end;

var a: v; n, i: byte; c: mn;

begin

randomize;

write('Сколько множеств? '); readln(n);

for i: = 1 to n do

begin vvod(a[i]);

print (a[i])

end;

Rez(a, n, c);

Print(c);

end.

Задача 3. Дана строка. Сохранить в ней только первые вхождения символов, удалив все остальные.

program ex_set_3;

var m: set of char;

s: string; i: byte;

begin

write('Введите строку: ');

readln(s);

m: =[];

i: = 1;

while i < = length(s) do

if s[i] in m then delete(s, i, 1)

else begin m: =m+[s[i]]; i: = i + 1 end;

writeln(s)

end.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое множество?

2. Почему множество является структурированным типом данных?

3. Как хранится множество в памяти ЭВМ? Какой максимальный объем оперативной памяти может быть отведен под хранение одного множества?

4. Какие операции можно выполнять над множествами?

5. Как добавить элемент в множество?

6. Как исключить элемент из множества?

7. Как вывести элементы множества? Как подсчистать количество элементов в множестве?

8. Как может быть использована операция вхождения?