Приближенные методы построения моделей. Метод черного ящика.

Точное соблюдение всех условий подобия затрудни­тельно, и может быть выполнено лишь в редких случаях. Поэтому были разработаны и успешно применяются приближенные методы построения моделей. При использова­нии приближенных методов построения моделей устанавливается нетождественная (или рабочая) аналогия между системой и моделью.

Модель есть некоторый нетождественный аналог (представле­ние) объекта (системы) или процесса.

Выясним, в каком случае система В может служить моделью системы А. Согласно определению модели, система В должна быть нетождественным аналогом системы А. Под словами «быть аналогом» здесь понимается быть подоб­ным. Следовательно, система В является моделью системы Л, если она в каком-то смысле подобна системе А.

При рассмотрении подобия широкого класса систем в общем случае пока еще отказываются от введения безразмерных комплексов. При уста­новлении подобия каждой системе ставится в соответствие так называемый «черный ящик».

Метод «черного ящика» состоит в том, что исходную систему как бы заключают в непроницаемый футляр. И мы видим входы х _j и выходы Z _j. системы. Поскольку «ящик» выполнен недоступным для наблюдения процессов, протекающих внутри него, его называют «черным ящи­ком». Поставить в соответствие системе «черный ящик» это значит, установив соотношения между соответствующими входами системы и «ящика», описать соотношения между полученными значениями соответствующих выходов системы и «ящика».

В терминах «черного ящика» легко дать определение понятий точного и приближенного подобия систем (в теории математического моделирования вместо последних двух терминов пользуются понятиями изоморфных и гомоморфных систем). При формулировке понятий изоморфных и гомоморфных систем учитывют, что входы и выходы систем могут быть не только детерминированными, но и случайными величинами:

1. Пусть значения входов двух систем изменяются по одному и тому же закону.

2. Если значения входов являются детерми­нированными величинами, то имеется полное совпадение величин входов двух систем в каждый момент времени.

3. Если же значения входов являются случайными величинами, то эти слу­чайные величины для каждого j -го входа первой и второй систем берутся из одной и той же генеральной совокупности.

Две системы называются изоморфными, если при сделанных предположениях можно в каждый момент времени установить взаимно однозначное соответствие между j -ми детерминированными выходами двух систем и если случайные величины, получаемые на k -тых выходах двух систем, в каждый момент времени будут принадлежать одной и той же генеральной совокупности. Между изоморфными системами существуют соотношения оригинал - модель в том смысле, что любая из совокуп­ности изоморфных систем может рассматриваться как оригинал или как модель остальных.

Оказывается, что требование изоморфности одной системы другой не является обязательным условием того, чтобы одна из систем служила моделью другой системы. Для того чтобы система В служила моделью системы А достаточно, чтобы при сделанных выше предположениях по крайней мере одна из выходных величин системы В в некотором масштабе соответствовала какой-нибудь выходной величине системы А, если соблюдается определенное соответствие между условиями на входах этих систем.

Система В, полученная из системы А путем ее упро­щения, в результате которого установлено не взаимно однозначное - соответствие между системами, называется гомоморфной или упрощенной моделью системы А. Отношения между оригиналом А и его гомоморфной моделью В являются неравноправными- система А не может рассматриваться как гомоморфная модель системы В.

Примеры гомоморфных моделей: системы А: агрегат, цех, завод.

Системы В: чертеж агрегата, хронометраж работы цеха, административная структура завода. Очевидно, что системы В являются гомоморфными моделями соответствующих систем А, поскольку агрегат не может быть мо­делью чертежа, цех - моделью хронометражных записей, завод - моделью его структуры.

Контрольные вопросы:

1. Сущность понятий: изоморфизм, гомоморфизм и аналогия.

2. Для чего используется теория подобия, основные понятиями теории.

3. Содержание трех теорем теории подобия.

4. Дополнительные положения о подобии сложных систем и систем с вероятностным характером.

5. Виды и примеры критериев подобия.

6. Требования теории подобия об аналогии между моделью и образцом.

7. Приближенные методы построения моделей. Метод черного ящика.

8. Использование теории графа в моделировании.