Связь плоской и пространственной моделей.

Свяжем эту модель с построенной ранее пространственной моделью. Пространственная модель, коротко говоря, сводится к тому, что выбирается А-отображение с центром в О сферы S. Затем рассматривается совокупность А отображений, коммутирующих с О(Х), они лежат на поляре к О. Но А отображения – это инверсии сферы. Выбрать А-отображение с центром в О – означает просто выбрать инверсию, а А-отображения, коммутирующие с этой инверсией – есть инверсии, коммутирующие с исходной, определенной точкой О. поэтому две модели равносильны. Это стало бы совсем очевидно, если бы я начал построение плоской модели так: «назовем окружности, ортогональные данной инверсии I – «прямыми» геометрии. Если I – мнимая инверсия, то это геометрия Римана, а если I – действительная, то получится геометрия Лобачевского.»Этот способ был бы хуже по двум причинам: 1. Выпадает геометрия Евклида. 2. окружность I совершенно не нужна нам для доказательства многих теорем.

Как и в пространственной модели я рассмотрю, что будет являться окружностью в рамках предложенной модели. Для этого снова воспользуемся определением окружности, данным на рис. 1. «Прямые» геометрии, проходящие через «точку» Р геометрии – это окружности, проходящие через пару точек Р1 и Р2, мы ищем как действуют инверсии относительно всех этих окружностей на «точку» геометрии. «точка» геометрии это пара точек Q1 и Q2, но нам вполне достаточно проследить действие на одну из этих точек, например Q1.

Рисунок 2.

(Две пересекающиеся окружности F и Н, точки их пересечения Р1 и Р2, точка Q1, окружность Т, проходящая через Н1 и ортогональная F и Н)

Окружности, проходящие через Р1 и Р2 образуют пучок. Проведем через Q1 окружность Т, ортогональную каким-нибудь двум окружностям этого пучка, напр. исходным F и Н, по свойствам пучков – она будет ортогональна все окружностям пучка (F, H) и, следовательно, при инверсиях относительно окружностей и пучка точка Q1 будет перемещаться по окружности Т. Таким образом, окружность геометрии изображается окружностью на плоскости. Заметим, что наше рассуждение охватывает сразу три возможные случая (Римана, Евклида и Лобачевского)

Но, в случае геометрии Лобачевского – не всякая окружность на плоскости будет окружностью геометрии Лобачевского. Пусть две окружности, изображающие «прямые» геометрии Лобачевского не пересекаются.

Рисунок 3.

(Две непересекающиеся окружности F и Н, центры пучка (F, Н) – точки О1 и О2, точка Q1, окружность Т, ортогональная F и Н и проходящая через Q1)

Окружность Т, ортогональная F и Н не изображает никакой окружности геометрии Лобачевского, т.к. у нее нет «центра» в этой геометрии. Заметим, что центры мнимого пучка (F, H) О1 и О2 лежат на I – окружности, ортогональной всем окружностям, изображающим «прямые» геометрии Лобачевского. Т.к. Т проходит через О1 и О2, то Т – обязательно пересекает I – именно такие окружности – не изображают никакую окружность геометрии Лобачевского.

Заметим еще одно хорошее свойство этой модели: угол между окружностями, изображающими «прямые» геометрии совпадает с углом между прямыми, которые эти окружности изображают.