Биссектрисы или серединные окружности.

Уже в первой статье про задачу Аполлония важнейшую роль играли биссектрисы, т.е. такие инверсии, которые сопрягают две данные окружности. О них говорилось и в других статьях, например, в ст. 3. Как само собой разумеющееся я упоминал, что биссектриса между А и В (действительная или мнимая) лежит в одном пучке с А и В. Сейчас я это докажу и найду другие свойства биссектрис.

Если А и В касаются или пересекаются, то что их биссектриса I лежит в одном с ними пучке – геометрически очевидно. Предлагаю доказать самостоятельно. Пусть А и В не имеют общих точек, т.е. образуют мнимый пучок. Покажем, что их биссектриса I отображает центры пучка (А, В) снова в центры пучка (А, В). В самом деле, эти центры сопряжены относительно А, значит их образ при инверсии относительно I сопряжен с I(A)=B. Но эти же центры сопряжены и относительно В, значит образ этих центров при инверсии относительно I сопряжен с I(B)=A. Поэтому образ этих центров сопряжен и относительно А и относительно В. Но у нас имеется только одна пара таких точек – это исходные центры пучка. Значит I отображает эту пару в себя. Если I оставляет каждый центр пучка неподвижным, то I будет ортогональна А и В, следовательно – не будет их биссектрисой. Значит I – меняет местами центры пучка А и В. Значит, по определению мнимого пучка – I лежит в пучке (A, B). Что и требовалось. Отсюда следует, что I ортогональна всем окружностям, ортогональным А и В. Это сразу позволяет нам понять, как I действует на точки.

Рисунок 12.

(Окружности А и В, окружность С, ортогональная им, точки пересечения С с А – Н1, и Н2, С с В – Т2, Т1, причем, точка Н2 лежит напротив Т2 и точка Н1 – напротив Т1. Пара точек Н1, Т2 разделяет пару точек Н2, Т1.)

Как было доказано, раз с С ортогональна А и В, то с ортогональна и I. I(C)=C, значит точки пересечения С и А перейдут под действием I в точки пересечения С и В. Возможны два варианта:

1. I(H1)=T1, I(H2)=T2. 2. I(H1)=T2, I(H2)=T1.

Рассмотрим первый случай. Как было показано в ст. 2 – инверсия полностью задается образами двух точек, мы можем найти центр инверсии как пересечение прямых (Н2, Т2) и (Н1, Т1). Но обычно нам нет необходимости искать центр. Зная образы двух точек мы. как описано в ст. 2 найдем образ любой третьей точки. Заметим, что пара точек Н1, I(H1)=T1 не разделяет пару точек Н2, I(H2)=T2, точка пересечения прямых, проходящих через эти пары – не разделяет эти точки, поэтому в этом случае мы имеем действительную инверсию.

Во втором случае пара точек Н1, I(H1)=T2 разделяет пару точек H2, I(H2)=T1, а точка пересечения прямых, проходящих через эти пары – разделяет точки пары, поэтому I – мнимая инверсия, у нее нет неподвижной окружности.

Если А и В пересекаются:

Рисунок 13.

(Пересекающиеся окружности А и В, окружность С, ортогональная им. Точки пересечения С с А Н1 и Н2, точки пересечения С с В – Т1 и Т2. Пара точек Н1 и Н2 разделяет пару точек Т1 и Т2.)

Заметим, что сейчас ни пара точек Н1, T1 не разделяет пару Н2, Т2, ни пара Н1, Т2 не разделяет пару Н2, Т1. Рассуждая аналогично предыдущему случаю мы получим, что или I(H1)=T1, I(H2)=T2 или I(H1)=T2, I(H2)=T1. Но, в отличие от предыдущего случая в обоих вариантах I будет действительной инверсией (т.к. пары точек: образ-прообраз не разделяют друг друга).

Рисунок 14а.

(Пара пересекающихся окружностей А и В, точки их пересечения Р и Q. Биссектриса I1 проходящая внутри обоих окружностей и вне их. Внутренние дуги окружностей меняются местами, внешние тоже меняются местами между собой.)

Рисунок 14б.

(тоже самое, но биссектриса I2 проходит по точкам, лежащим внутри окружностей. Внешняя дуга одной окружности переходит во внутреннюю дугу другой и обратно.)

Наконец, если А и В касаются друг друга, то окружность, ортогональная им, обязательно проходит через точку касания Р.

Рисунок 15.

(Касающиеся в точке Р окружности А и В, ортогональная им окружность С, точки пересечения этой окружности с А – Н1 и Р, с В – Т1 и Р.)

Т.к. I(P)=P, то возможен только один вариант I(H1)=T1. инверсия I однозначно определена. Мы можем провести еще С1, ортогональную А и В и получить в точках ее пересечения с А и В еще пару точек, сопряженную относительно I.

Итак, мы доказали, что:

1. У двух пересекающихся окружностей есть две действительные биссектрисы.

2. У окружностей, не имеющих общих точек, также есть две биссектрисы. Одна – действительная, другая – мнимая. Мнимая инверсия отображает точки с окружности А на окружность В как бы «крест-накрест».

3. В обоих случаях обе биссектрисы – коммутируют друг с другом (см. ст.3).

4. Если окружности касаются – есть только одна биссектриса между ними. (этот случай можно рассматривать как переходный между пересекающимися и не пересекающимися окружностями. Точки пересечения расположены «очень близко» друг к другу.)

Как построить окружность I?

Мы показали, как определить образ произвольной точки Х на А при инверсии I. Достаточно провести ортогональную к А и В окружность С через точку Х. (для этого можно инвертировать Х относительно В, полученное инвертировать относительно А и через три точки провести окружность, она будет ортогональна А и В и проходит через Х). Чтобы выбрать, какая из двух точек пересечения В с С будет I(X) – надо знать, какая из двух возможных биссектрис нам нужна. Пусть мы это знаем. Тогда возьмем на окружности А три точки Х1, Х2, Х3 и найдем указанным способом их образы I(X1), I(X2), I(X3). А если мы знаем образы трех точек при действительной инверсии мы легко можем построить и окружность инверсии, например, с помощью теоремы о трех окружностях Лобачевского. Три окружности Лобачевского в данном случае это окружности проходящие через:

1. X1, X2, I(X1), I(X2)

2. X2, X3, I(X2), I(X3)

3. X1, X3, I(X1), I(X3)

Мы строим окружности на точках пересечения этих трех окружностей, как было описано в названной теореме: окружности, проходящие через точки X1, X2, I(X3) и I(X1), I(X2), X3 – пересекаются в точках, лежащих на I, также окружности, проходящие через точки: X1, I(X2), X3 и I(X1), X2, I(X3) – пересекаются в точках, лежащих на I. Окружность, проведенная через эти точки пересечения и будет искомая I.

В случае, когда А и В имеют общие точки – есть и более простые способы построения биссектрисы, но здесь я не буду о них писать.

В статье. 5 была определена биплетная симметрия (симметрия относительно пары точек). Воспользуемся этим понятием, чтобы определить, чему равна композиция инверсий, относительно двух биссектрис между А и В. Пусть I1(A)=B и I2(A)=B. Ясно, что I1*I2(A)=A, I1*I2(B)=B. Т.к. I1 и I2 – коммутируют, то I1*I2 – биплетная симметрия. Концы этого биплета – центры пучка (А, В). Если А и В пересекаются, то концы биплета – точки их пересечения, это аналогично тому, что композиция симметрий относительно двух биссектрис между прямыми – симметрия относительно точки их пересечения. А если А и В не имеют общих точек, то концы этого биплета – центры мнимого пучка А и В. Они сопряжены и относительно А и относительно В.