Пример 3.10.

Из 4 видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее 420 ед. вещества А, 210 ед. вещества В и 270 ед. вещества С. Количество еди­ниц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей таб­лице. В ней же приведена цена 1 кг корма каждого вида.

= (400, 180, 200); Z = 30

Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питатель­ных веществ и имеющий минимальную стоимость.

Математическая модель задачи имеет вид:

(целевая функция)

Решение ЗЛП в Ms Exel:

Занесем в данную задачу числовую информацию:

• К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочем столе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

• В меню Сервис выбираем Поиск решения. В появившемся окне задаем следующую информацию:

• а) в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции H5

• б) «флажок» устанавливаем на вариант «минимальному значению», т.к. в данном случае, целевая функция дохода подлежит минимизации;

• в) в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений переменных С4: F4;

• г) справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения

д) в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы для левой части первого ограничения G9, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае > =), в поле «Ограничение» заносится ссылка на правую часть ограничения I9

Таким образом, окно «Поиск решения» с занесенной информацией выглядит следующим образом

Далее необходимо нажать кнопку Параметры, установить «флажки» «Линейная модель» и «Неотрицательные значения», поскольку в данном случае задача является ЗЛП, а ограничение 6) требует неотрицательности значений

Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения

Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В данном примере достаточно сохранить найденное решение, нажав «ОК». В результате получено решение задачи.

Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения, это означает, что при оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок», максимизации/минимизации и т.д.).

1. Найти решение исходной и двойственной задачи.

Двойственная задача имеет вид:

Отчет по результатам (решение исходной задачи)

Отчет по устойчивости (решение двойственной задачи):

*=(20; 0; 0; 14) – столбец " результат" из отчета по результатам.

*=(0, 6429; 0, 2381; 0) – решение двойственной задачи – столбец " теневая цена" из отчета по устойчивости

f( *)=g( *) =320 – целевая ячейка " результат из отчета" по результатам.

2. Определите, все ли виды кормов входят в рацион, ценность дополнительной еди­ницы каждого питательного вещества и его приоритет при решении задач уменьшения стоимости рациона.

Отчет по результатам (решение исходной задачи):

Отчет по устойчивости (теневая цена):

Из отчета по результатам видно, что в рацион входят первый (20 кг) и четвертый (14 кг) корма.

Так как первое и второе ограничения ИЗ являются связными (см. отчет по результатам), то оптимальный рацион по питательным веществам А и В имеет минимальную питательность, т.е. содержание питательных веществ А и В не превышает заданный минимальный уровень.

Третье ограничение является несвязанным, т.е. содержание питательного вещества С (310 ед.) превышает заданный минимальный уровень (270 ед.) на 90 ед.

Ценность единицы i-го питательного вещества определяется значением соответствующей двойственной переменной .

Т.к. > 0, > 0, то любое уменьшение содержания питательных веществ А и В будет приводить к уменьшению стоимости рациона, и поскольку > , то при уменьшении на единицу содержания вещества А стоимость рациона уменьшится на 0, 64 д.е., а вещества В – на 0, 24 д.е.

Т.к. , то изменение содержания питательного вещества С не скажется на стоимости рациона.

3. Определите суммарную стоимостную оценку питательных веществ в единице каждого корма, использование какого вида корма нерентабельно.

Смотри отчет по устойчивости (теневая цена и нормированная стоимость):

Сумарная стоимостная оценка питательных веществ в 1 кг корма равна соответствующей левой части ограничений ДЗ, например, для первого корма: , т.е. равна правой части, поэтому использование первого корма является рентабельным. Т.к. нормированная стоимость (отчет по устойчивости) равна с точностью до знака разности между левой и правой частями ограничения ДЗ, то нулевое ее значение для первого корма говорит о его рентабельности. То же самое можно сказать о четвертом корме. Поскольку для кормов 2 и 3 нормированная стоимость (разность между левой и правой частями ограничений ДЗ) положительна, т.е. «полезность» 1 кг кормов 2 и 3, выраженная в денежных единицах, меньше их цены.

Например, для корма 2 полезность 1 кг выраженная в денежных единицах, равна , а цена – 11 д.е., т.е. разность , что равно величине нормированной стоимости.

4. Содержание какого из питательных веществ превышает заданный минимальный уровень и на сколько?

Отчет по результатам

Ответ на данный вопрос можно найти в отчете по результатам (см. столбцы «статус» и «разница»). Например, для питательного вещества А ограничение является связанным (разница равна 0), т.е. питательное вещество А не превышает заданный минимальный уровень. Для питательного вещества С ограничение является не связанным (разница равна 90), т.е. минимальный уровень С превышен на 90 единиц.

5.Определите максимально возможное уменьшение содержания каждого из питательных веществ в рационе, при котором структура рациона остается без изменений.

Отчет по устойчивости.

В таблице " ограничения" отчета по устойчивости, в столбцах «допустимое увеличение» и «допустимое уменьшение» дается ответ на данный вопрос, а именно:

0<

0<

6. На сколько уменьшится стоимость рациона и используемое количество кормов при снижении минимального уровня потребления питательного вещества В до 30 ед.

Если снижение минимального уровня удовлетворяет интервалу изменения ограничения 2 (см. отчет по устойчивости), то алгоритм ответа будет следующим:

а) изменение стоимости рациона:

, т.е. стоимость рациона уменьшится на 7, 143 д.е.

Для того чтобы найти рацион, соответствующий новым условиям, необходимо в исходную числовую информацию в столбец «Правая часть» (строка ограничение II) внести вместо числа 210 – число 180 и получить соответствующий рацион.

7. Определите интервал изменения цен на каждый вид корма, при котором сохраняется структура рациона.

Ответ на данный вопрос читаем в таблице «изменяемы ячейки» отчета по устойчивости.

Отчет по устойчивости.

Ответ:

0<

<

<

8. Возможно ли сделать выгодным использование корма, не вошедшего в рацион.

Например, для корма 2, не вошедшего в рацион, уравнение рентабельности будет иметь вид:

, где - возможное увеличение содержания питательного вещества i в 1 кг второго корма.

Уравнение содержит 3 неизвестных, т.е. имеет бесчисленное множество решений. Т.к. , то уравнение примет вид: . Полагая, например , получим:

, т.е. содержание питательного вещества А в 1 кг второго корма следует увеличить на 9, 56 единиц.

Поскольку уравнение рентабельности имеет много решений, то всегда можно найти экономически приемлемый вариант.

Сделать выгодным использование корма, не вошедшего в рацион, можно другим путем, например, уменьшив цену (если это возможно) 1 кг на величину нормированной стоимости. Например, чтобы сделать выгодным третий корм, нужно уменьшить его цену на 5, 6 д.е.

9. На сколько увеличится стоимость рациона при принудительном включении в рацион 1 кг нерентабельного вида корма.
Отчет по устойчивости (нормир. стоимость):

Согласно столбцу «нормированная стоимость» отчета по устойчивости при принудительном включении в рацион 1 кг второго корма, стоимость рациона увеличится на величину его нормированной стоимости, т.е. на 6, 12 д.е., а при включении третьего корма – на 5, 60 д.е.

10. На сколько нужно снизить минимальный уровень потребления каждого из пита­тельных веществ, чтобы уменьшить стоимость рациона на 10%?

Из отчета по результатам текущая стоимость рациона составляет: д.е., 10% от которой составляют 32 д.е. Очевидно, что для снижения стоимости рациона необходимо снизить минимальные уровни содержания в рационе питательных веществ А, В и С. Если обозначить через абсолютные величины снижения заданного минимального уровня, то уравнение для определения примет вид:

или

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Полагая, например, , получим

Т.е. минимальный уровень содержания в рационе вещества А должен стать равным 420-36, 36=383, 84 единицы, а вещества В – 210-36, 36=173, 64 единицы.