Подбор поперечного сечения балки из условия прочности

Изгибающий момент M вызывает в поперечном сечении нормальные напряжения s, которые являются определяющими при суждении о прочности балки.

Для балок, материал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (например, сталь) для обеспечения прочности необходимо выполнение следующего условия

, (1)

где – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент;

– расчетное сопротивление стали по пределу текучести;

– момент сопротивления сечения при изгибе, определяемый по формуле:

, (2)

где – момент инерции площади этого сечения относительно нейтральной оси Z;

– расстояние от нейтральной оси Z до наиболее удаленного растянутого или сжатого волокна.

Ось Z называют нейтральной осью сечения, поскольку в точках оси Z нормальные напряжения равны нулю. При этом по одну сторону нейтральной оси напряжения – растягивающие, а по другую – сжимающие.

Подбор размеров поперечного сечения балок при изгибе производится по наибольшим растягивающим или сжимающим нормальным напряжениям, т. е. для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси. Расчетная формула на изгиб для подбора сечения вытекает из условия (1) и записывается в следующем виде

, (3)

где – минимальный момент сопротивления поперечного сечения балки относительно нейтральной оси Z;

отклонение от равенства допускается только в сторону увеличения запаса прочности.

Итак, согласно формуле (3) для начала необходимо определить наибольший по абсолютному значению изгибающий момент, используя построенную в п. 3.3 эпюру изгибающих моментов (рис. 14):

кН× м кН× см (сечения 1 и 2).

Далее определим минимальный момент сопротивления поперечного сечения балки относительно нейтральной оси Z по формуле (3)

см³, .

На данном этапе возможны два варианта расчета:

1) нейтральная ось Z всего сечения совпадает с одной из центральных осей прокатных профилей (см. Приложение 3), из которых фигура состоит. В этом случае необходимо:

- определить минимальный момент сопротивления сечения одного профиля в случае, если сечение составлено из нескольких одинаковых профилей;

- по сортаменту (Приложение 3) подобрать № профиля с ближайшим большим найденного значением момента сопротивления сечения относительно центральной оси, совпадающей с нейтральной осью Z всего сечения.

2) нейтральная ось Z всего сечения не совпадает ни с одной из центральных осей прокатных профилей (см. Приложение 3), из которых фигура состоит. В этом случае необходимо:

- записать в общем виде выражение для определения момента сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z, используя формулу (2);

- методом постановок, перебирая различные № профилей и подставляя соответствующие им величины в выражение для определения момента сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z, выбрать профиль с ближайшим большим найденного минимального момента сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z значением.

В нашем случае будем иметь второй вариант, так как нейтральная ось Z всего сечения не совпадает ни с одной из центральных осей прокатных профилей (швеллеров), из которых состоит фигура.

Запишем в общем виде выражение для определения момента сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z, используя формулу (2).

Предварительно вычислим момент инерции площади всего сечения относительно нейтральной оси Z

,

где – момент инерции швеллера относительно его центральной оси , параллельной нейтральной оси Z всего сечения (см. рис. 18);

– площадь поперечного сечения швеллера;

коэффициент “2” означает, что рассматриваются два швеллера, с равными моментами инерции относительно нейтральной оси.

Расстояние от нейтральной оси Z до наиболее удаленного растянутого и сжатого волокна будет одинаковым и равным ширине полки швеллера: .

Рис. 18

Таким образом, выражение для определения момента сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z будет выглядеть так:

см³.

Примем швеллер № 10 ( см⁴; см²; см; см), см. Приложение 3. Тогда момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z будет равен

см3	необходимо увеличить сечение швеллера

Примем швеллер № 12 ( см⁴; см²; см; см). В этом случае момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Z будет равен

см³.

Окончательно принимаем швеллер № 12.

Проверим балку на прочность по формуле (1):

– прочность балки обеспечена.