Корреляционный анализ

В экономических исследованиях одной из важных задач является анализ зависимостей между изучаемыми переменными. Зависимость между переменными может быть либо функциональной, либо стохастической (вероятностной). Для оценки тесноты и направления связи между изучаемыми переменными при их стохастической зависимости пользуются показателями ковариации и корреляции.

Ковариацией cov(x, у) случайных величин Х и У называют среднее произведений отклонений каждой пары значений величин X иY в исследуемых массивах данных:

.

Ковариация есть характеристика системы случайных величин, описывающая помимо рассеивания величин X и Y еще и линейную связь между ними. Доказано, что для независимых случайных величин X и Y их ковариация равна нулю, а для зависимых случайных величин она отличается от нуля (хотя и не обязательно). Поэтому ненулевое значение ковариации означает зависимость случайных величин. Однако обращение в нуль ковариации не гарантирует независимости, бывают зависимые случайные величины, ковариация которых равна нулю. Из формулы определения ковариации видно, что ковариация характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин X или Y мало отличается от своего математического ожидания (почти не случайна), то показатель ковариации будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины Х и Y. Так что обращение в нуль ковариации величин X и Y является не достаточным условием для их независимости, а только необходимым.

Использование ковариации в качестве меры связи признаков не совсем удобно, так как показатель ковариации не нормирован и при переходе к другим единицам измерения (например, от метров к километрам) меняет значение. Поэтому в статистическом анализе показатель ковариации сам по себе используется редко; он фигурирует обычно как промежуточный элемент расчета линейного коэффициента корреляции r_xy:

В 1889 г. Ф. Голтон высказал мысль о коэффициенте, который мог бы измерить тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками. В начале 90-х гг. ХIХ в. Пирсон, Эджворт и Велдон получили формулу линейного коэффициента корреляции

.

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты не всякой, а только линейной зависимости. При нелинейной зависимости между явлениями линейный коэффициент корреляциитеряет смысл, и для измерения тесноты связи применяюттак называемое корреляционное отношение, известное также подназванием «индекс корреляции».

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, т. е. более или менее приближаться к функциональной. Если случайные величины X и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью у=ax+b, то г_xy = ± 1. В общем случае, когда величины X и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, линейный коэффициент корреляции принимает значение в пределах -1 < г_xy< 1, тогда качественная оценка тесноты связи величин X и Y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока(см. Рисунок 15).

Рисунок 6 – Таблица Чеддока.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета линейного коэффициента корреляции:

Приведенные формулы в определенных случаях имеют некоторые преимущества друг перед другом. Например, при небольших значениях n (n< 30) обычно употребляются формулы (2) и (3).

Необходимо обратить внимание, что формулы (1) - (3) справедливы для нахождения генерального коэффициента корреляции. Чтобы рассчитать выборочный коэффициент корреляции, необходимо в этих формулах генеральные средние заменить на выборочные средние, а генеральные стандартные отклонения - на выборочные стандартные отклонения.

Режим работы «Корреляция» предназначен для расчета генерального и выборочного коэффициентов корреляции соответственнона основе генеральных и выборочных данных.

Создаем новый лист. Переименовываем лист в «Корреляционный анализ». Копируем значения всех сопротивлений и значения всех токов.

Далее находим значимость коэфициента корреляции. Вводим значимость γ: 0, 95. Находим стандартоное отклонение по формуле: , где n – число исследуемых элементов. Находим . Находим z_кр: функция НОРМОБР(ссылка на значение «»; 0; ссылка на значение «стандартоное отклонение»). Найдем значение обратного преобразования Фишера: функция ФИШЕРОБР (ссылка на «z_кр»). (см. Рисунок 7)

Рисунок 7 - Значимость коэффициента корреляции

Создаем таблицу корреляции. Для этогона ленте выбираем вкладку «Формулы» – «Другие формулы»– «Статистические», выбираем «КОРРЕЛ». В появившемся окне в «массив1» задаем диапозон значений соответствующего сопровтивления, в «массив2» задаем диапозон значений соответствующего тока, и протягиваем для всех токов. Проводим эту процедуру для каждого сопротивления.

Рисунок 8–формула корреляции

Далее задаем цвета для каждой степени тесноты связи в таблице Чеддока (см. Рисунок 9). Заливку делаем на вкладке «Главная», группе «Шрифт»– «Формат ячеек». Также добавляем к таблице Чеддока строки для значения обратного преобразования Фишера значимостями 0, 95. Значимые значения выделяем внешней границей.

Рисунок 9 – Преобразованная таблица Чеддока.

Создаем правила для всех ячеек таблицы в соответсвии с таблицей Чеддока (см. Рисунок 9). Для этого на вкладке «Главная», группе элементов «Стили» выбираем «Условное форматирование» - «Управление правилами». Нажимаем создать правило. Выбираем строку «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек». В строке «Форматировать значения, для которых следующая формула является истинной» вводим формулу: =И(0, 1< =ссылка на диапазон ячеек таблицы< 0, 3). Нажимаем «Формат» и в появившемся окне на вкладке «Заливка» выбираем нужные параметры цвета и штриховки. Анологично поступаем для других степеней тесноты связи (см. Рисунок 10).

Рисунок 10 – Создание правил форматирования

В итоге получим таблицу Корреляции:

Рисунок 10 – Корреляция