Способи задання площини.

- трьома точками, які не лежать на одній прямій (рис. 3.2.а.);

- прямою і точкою, яка не лежить на прямій (рис. З.2.6.);

- двома прямими, що перетинаються (рис. З.2.В.);

- двома паралельними прямими (рис. 3.2.г.);

- плоскою фігурою (наприклад, трикутником АВС, рис. З.2.Д.);

- слідами (рис. 3.2.є.).

Всі способи рівнозначні, тобто можливий перехід від одного способу до іншого. В основі кожного із них лежать три точки, які не лежать на одній

прямій.

Сліди площини загального положення

Площина безмежна. Тому при своєму продовженні вона перетинає площини проекцій.

Сліди площини - це лінії перетину даної площини з площинами проекцій. Завжди при визначенні слідів на рисунку повинна бути вісь (рис. 3.3.а.). Сліди лежать в площині і являються прямими, що перетинаються. Тому з слідами необхідно поводитися як зі звичайними прямими.

Положення площини в просторі

1. Площина загального положення (випадково розташована в просторі)
(рис. 3.3.).

2. Площини окремого положення

2.1. Проекціювальні площини (рис. 3.4.) (площини, які перпендикулярні до площин проекцій).

α _┴ П₁ - горизонтально проекціювальна площина;

β _┴ П₂ - фронтально проекціювальна площина;

γ _┴ П₃ - профільно проекціювальна площина.

Проекціювальна площина вироджується в пряму на ту площину проекцій до якої вона перпендикулярна.

Площини рівня

Такі площини паралельні площинам проекцій. α ||П₁- горизонтальна площина рівня. β ||П₂- фронтальна площина рівня. γ ||П₃ - профільна площина рівня.

Площина рівня вироджується в натуральну величину на ту площину, до якої вона паралельна, а на дві інші площини проекцій - в прямі, (рис.3.5)

Пряма і точка в площині

По відношенню до площини пряма може займати слідуючі положення: лежати в площині; бути паралельною площині; перетинати площину. Точка ж, по відношенню до площини, може займати тільки два положення: точка лежить в площині (тобто належить площині); точка не лежить в площині. Порядок моделювання точки, що належить площині.

1) необхідно провести пряму в площині.

2) На прямій задати точку.

Пряма належить площині, якщо проходе через дві точки площини (чи проходе через точку площини паралельно прямій, яка лежить в цій площині).

Головні лінії площини

Серед безлічі прямих, які можна провести в площині є прямі, що володіють особливими властивостями. їх називають головними лініями площини. До них відносять лінії рівня площини (прямі, що паралельні площинам проекцій) і прямі, перпендикулярні до ліній рівня, так звані лінії найбільшого нахилу площини. Відносно площини проекцій П₁ останні називають лініями

найбільшого скату.

1. Лінії рівня площини (горизонталь - h||П₁; фронталь - f||П₂; профільна
лінія рівня-р||Пз).

2. Лінії найбільшого нахилу площини визначають кути нахилу даної
площини до П₁ і П₂, (П₃).

U- лінія, яка визначає кут нахилу площини до П₁.
U_1┴ h₁; U₂ - по л. зв'язку.

V - лінія, яка визначає кут нахилу площини до П₂. V_2┴ f ₂; V₁ по лінії зв'язку.

Для побудови U і V використовують теорему про проекцію прямого кута

(окремий випадок).

На рисунках 3.7 а, б зображено дві площини α (∆ АВС) і β (h°∩ f°) в яких проведено головні лінії.

Взаємна паралельність прямої і площини

Пряма α β ||β якщо вона паралельна будь-якій прямій площини β Приклад. Через точку А провести площину Р паралельно прямій а (рис. 3.8.) Рішення: 1) Необхідно в просторі провести пряму b||а. 2) Через пряму b провести довільну площину (наприклад, β (b∩ с) перпендикулярну до П₁).

Взаємно паралельні площини

Дві площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини будуть відповідно (попарно) паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини.

Приклад. Через точку А провести площину γ паралельну площині α (m || l)(рис. 3.9).

Взаємне положення двох площин

Дві площини в просторі можуть займати слідуючі положення:

1. α ∩ β - площини, що перетинаються;

2. γ ||α - взаємно паралельні площини.

Задачі на перетин площин є основними в інженерній графіці. Окремий випадок 1.

Окремий випадок 2.

Побудова лінії перетину площини загального положення з площиною окремого положення (рис. 3.11)

Одна проекція лінії перетину будь-якої площини загального положення з площиною окремого положення будується без застосування допоміжних січних площин по проекції, що збіглася з однойменною проекцією цієї площини, яка виродилась в пряму, а друга проекція - по лініям зв'язку на основі взаємоналежності (інцидентності),

Окремі випадки необхідні для побудови лінії перетину площин загального положення.

Побудова лінії перетину двох площин загального положення (Метод допоміжних січних площин).

Лінія перетину двох площин є спільною для них. Розглянемо приклад побудови такої лінії перетину МN=α (∆ АВС) ∩ β (h°∩ f°); α МN β Розв'язання буде складатися з 9 етапів (рис. 3.12)

1. Проводимо допоміжну січну площину δ так, щоб вона перетинала обидві площини. δ повинна займати проекціювальне положення. В даному випадку, враховуючи те, що площина β задана слідами, δ являється площиною рівня (володіє властивостями проекціювальної площини). δ ||П₁.

2. Будуємо лінію перетину допоміжної січної площини δ з першою
площиною α. а = δ ∩ α.

3. Будуємо лінію перетину допоміжної січної площини 8 з другою
площиноюр. b = δ ∩ β.

4. Знаходимо точку перетину прямих а і b.

М= а ∩ b

5. Проводимо другу допоміжну січну площину τ || П₁.

6. Будуємо лінію перетину τ з першою площиною с = τ ∩ α.

7. Будуємо лінію перетину τ з другою площиною β.

d= τ ∩ β

8. Знаходимо точку перетину прямих с і d → N

9. Через точки М і N проводимо пряму-лінію перетину двох площин.

рис. 3.12. Окремі випадки

Побудова лінії перетину площин заданих слідами виконується без застосування допоміжних січних площин по точкам перетину однойменних слідів (рис. 3.13.а, б, в).

Побудова точки перетину прямої загального положення з площиною загального положення а (ш || п)

Для вирішення цієї задачі (рис. 3.14.) необхідно:

1. Пряму (наприклад, а) заключній в допоміжну січну площину (δ) окремого
положення.

а δ _┴ П

2. Знайти лінію перетину (b) допоміжної площини (δ) з заданою площиною
(α).

b=δ ∩ α; δ b α

3. Знайти точку (К) перетину двох прямих (а і b)

К=а∩ b; А так, як b α → то К= а∩ α.

4. Визначити видимість прямої а по відношенню до площини а.

Взаємна перпендикулярність прямої та площини.

Із стереометрії відомо, що пряма перпендикулярна площині, якщо вона

перпендикулярна двом прямим, які перетинаються цієї площини.

Якщо ж пряма перпендикулярна площині, то вона перпендикулярна будь-яким прямим площини які перетинаються. Це означає, що в якості таких прямих можна взяти горизонталь та фронталь площини.

Взявши до уваги проекцію прямого кута (окремий випадок) можна

сформулювати умову перпендикулярності прямої (а) і площини (α).

Пряма а_┴ α, якщо горизонтальна проекція прямої (а₁) перпендикулярна до

горизонтальної проекції горизонталі (h₁), а фронтальна проекція прямої (а₂)

перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі (f₂).

а_┴ α, якщо а_1┴ h₁; а_2┴ f ₂.

Якщо ж площина α перпендикулярна до прямої (а), то горизонтальні проекції горизонталей площини (h₁) перпендикулярні до горизонтальної проекції прямої (а₁), а фронтальні проекції фронталей площини (f₂) перпендикулярні до фронтальної проекції прямої (а₂).

α _┴ a, якщо h_1┴ а₁; f_2┴ а₂;

Приклад (рис. 3.15.)

Провести пряму а_┴ β (m∩ n)

Взаємна перпендикулярність двох прямих.

В загальному випадку, для того, щоб провести пряму, перпендикулярну до
даної прямої, необхідно провести площину, перпендикулярну до даної прямої, і
в цій площині побудувати будь яку пряму..«^

Приклад. Визначити натуральну величину Л& \

відстані від точки А до прямої b. (рис. 3.16.)

Рішення

1. А α (h∩ f) _┴ b
А₁ h_1┴ b₁; А₁ f_1┴ - в.л.зв.
А₂ f_2┴ b₂; А₂ h_2┴ -і в.л.зв.

2. b δ _┴ П₂; b₂≡ δ ₂
(1; 2)m=δ ∩ α

3. - К =b∩ m
АК_┴ b

A₁'K₁'; -|AK|

Як видно з записаного алгоритму спочатку через т. А проводиться площина α (яка задана фронталлю та горизонталлю) перпендикулярно до прямої b (пункт 1).

Потім через пряму b проводиться допоміжна січна площина δ перпендикулярна до П₂

В результаті δ перетинає α по прямій m. Остання перетинається з прямою в точці К. З'єднавши проекції точок А і К прямими одержують проекції перпендикуляру, опущеного з т. А до прямої b. Натуральну величину АК→ |АК| знаходять способом прямокутного трикутника.

Взаємно перпендикулярні площини.

Для того, щоб провести площину β перпендикулярно площині а необхідно:

1. Провести пряму b перпендикулярно до α;

2. Через b провести будь-яку (наприклад β) площину.

Умова перпендикулярності двох площин така: якщо площина β проходить через перпендикуляр до площини а (чи паралельна даному перпендикуляру), то вона перпендикулярна даній площині.

На рис. 3.17. зображена побудова площини, перпендикулярної до площини а, яка задана слідами.