VIII. Розгортки поверхонь.

Розгорткою називається плоска фігура, утворена при суміщенні поверхні геометричного тіла з площиною. Молена сформулювати простіше. Розгортка -плоска фігура, утворена послідовним суміщенням всіх плоских елементів поверхні в одну площину без утворення розривів та складок.

Розгортка широко застосовується в техніці при виготовленні поверхонь різних деталей. Багато технічних конструкцій виготовляють з листового матеріалу, а заготовки таких конструкцій уявляють собою їх розгортки (повітроводи для промислової вентиляції, труби, бункери, деталі різних будівельних та підйомно-транспортних механізмів...).

Поверхні, які можна повністю сумістити з площиною без розривів чи складок, називають розгортнгши. До таких відносяться всі гранні поверхні, циліндричні, конічні та торсові поверхні. Характерною ознакою їх є те, що вони мають ребро звороту і дві нескінченно близькі твірні, які перетинаються у власній точці.

Є лише дві криві поверхні, розгортка яких будується дуже просто. Це прямий круговий конус та прямий круговий циліндр. Розгортка поверхні такого конуса є сектором круга радіуса, який дорівнює твірній конуса, а кут сектора обчислюється по формулі: ф=К*360/1, де К. - радіус основи конуса; 1 - довжина твірної конуса. Приклад наведено на рис. 8.1.

Розгортка ж прямого кругового циліндра обертання (див. рис. 8.2) є прямокутником, висота якого дорівнює висоті циліндра, а ширина -довжині кола основи, тобто 2ПК. Для всіх інших поверхонь будують наближені розгортки за допомогою описування чи вписування багатогранних поверхонь. Криві лінії таких поверхонь замінюють на вписані чи описані багатокутники.

Усі інші поверхні, як лінійчаті, так і криволінійчаті просто (елементарними побудовами) розгорнути не можна. Якщо ж є необхідність в розгортці, то її називають умовною.

Поверхню та її розгортку можна розглядати як множину точок, між якими встановлюється взаємно однозначна відповідність. Ця відповідність володіє наступними основними властивостями:

- прямій на поверхні відповідає пряма на розгортці;

- паралельним прямим на поверхні відповідають паралельні прямі на
розгортці;

- довжини ліній на поверхні та на розгортці рівні;

- зберігається рівність кутів між лініями на поверхні та на розгортці;

- площа фігури на поверхні дорівнює її площі на розгортці. Загальним
способом побудови розгортки будь-яких поверхонь (кривих) є попередня
апроксимація їх гранними поверхнями (в дану криву поверхню вписується або
описується гранна поверхня, розгортка якої і будується). Нижче розглянемо
різні способи побудови розгорток.

Спосіб нормального перерізу.

Цей спосіб застосовують для побудови розгортки Призматичних та циліндричних поверхонь.

Нормальним перерізом називають переріз площиною, яка перпендикулярна до ребер призми (твірних циліндра). На рис. 8.3 показано приклад побудови розгортки похилої трикутної призми АВСВЕР.

Бічні ребра призми займають горизонтальне положення, на Пі вони проекціюються в натуральну величину.

Горизонтально проекціювальна площина γ, яка перпендикулярна до бічних ребер, визначить нормальний переріз 123 призми. Необхідно знайти натуральну величину цього перерізу. Розташувавши цей переріз паралельно до площини проекцій П₂, отримаємо його натуральну величину1₂¹2₂¹3₂¹.Так як бічні ребра призми паралельні між собою, а сторони нормального перерізу перпендикулярні до них, то на розгертці призми бічні ребра також будуть паралельними між собою, а сторони нормального перерізу розгорнуться в одну пряму. Тому для побудови розгортки призми потрібно відкласти в вільному місці аркушу паперу на будь-якій прямій натуральні величини сторін нормального перерізу: 1₀2₀=1₂¹2₂¹, 2₀З₀=2₂¹3₂¹, З₀1₀=3₂¹1₂¹, а потім через точки 1₀, 2₀, З₀ і 1₀ провести прямі, які перпендикулярні до цієї прямої. Якщо тепер відкласти на цих перпендикулярах в обидва кінці від прямої 1₀1₀ відрізки бічних ребер, на які їх ділить площина у на площині проекцій П₁ (тут натуральна величина бічних ребер), і з'єднати відрізками прямих кінці відкладених відрізків, то отримаємо розгортку бічної поверхні призми. Добудувавши до цієї розгортки обидві основи призми, одержимо її повну розгортку.

Якщо б бічні ребра призми були розташовані довільно відносно площин проекцій, то спочатку необхідно було б перетворити їх в прямі рівня (паралельні до будь-якої площини проекцій).

Цим способом можна будувати розгортку похилого циліндра, коли до якоїсь площини проекцій його твірні будуть паралельними. Достатньо вписати в циліндр багатогранну (наприклад, дванадцятигранну) призму.

Спосіб розгортання.

Такий спосіб застосовують для побудови розгортай призм та циліндрів, коли бічні ребра (твірні) поверхні та хоча б одна з її основ паралельні площині проекцій.

На рис. 9.4 наведено приклад побудови розгортай похилого еліптичного циліндра. Спочатку коло основи розбивають на 12 рівних частин (або на 6, 8...), в циліндр вписують похилу призму. Розгортка бічної поверхні циліндра буде складатися з дванадцяти граней призми.

Як видно з рисунка 9.4, праве контурне ребро призми (дивись горизонтальну проекцію) приймемо за основу. Обертаючись навколо нього, вершини основ призми рухатимуться по траєкторіях, перпендикулярних до цього ребра. Кожна

грань вписаної призми є паралелограмом, сторони якого відомі: більші сторони (НВ) зображені без спотворення на П₁, а менші на П₂ - Послідовно будують точки 1₀, 2₀, 3₀,...12₀, 1о (крива, що їх з'єднує - розгортка видимої (на П₂ основи) та точки, з яких складається розгортка другої основи (верхня крива лінія на розгортці). Ці криві обмежують розгортку бічної поверхні. Якщо ж необхідно побудувати повну розгортку, то до бічної поверхні добавляють дві (як в цьому випадку) основи, які на П₂ зображені в натуральну величину.

Спосіб триангуляції.

Спосіб трикутників (триангуляції) заключається в тому, що крива поверхня замінюється вписаною багатогранною з трикутними гранями, яка і розгортується. Цей спосіб застосовують для побудови розгорток конічних, пірамідальних, торсових поверхонь.

Розгортка бічної поверхні піраміди складається з трикутників - граней піраміди. Тому побудова розгортай піраміди зводиться до побудови трикутників в натуральну величину. Для побудови ж розгортки конуса достатньо в нього вписати піраміду. Всі ж інші побудови виконують так, як і в випадку з пірамідою.

На рис. 9.5 показана побудова розгортки трикутної піраміди. Визначення натуральних величин бічних ребер піраміди виконано способом обертання їх навколо горизонтально проекціювальної осі i, яка проходить через вершину S. Всі ребра повернуті до положення, паралельного площині проекцій П₂. При цьому на фронтальній площині проекцій отримаємо натуральну величину ребер S₂¹A₂¹, S₂¹В₂¹, S₂¹C₂¹. Для побудови розгортки із довільної точки Зо проведемо пряму, на якій відкладемо натуральну величину ребра SоАо= S₂¹A₂¹.

З точки Зо робимо засічку радіусом, який дорівнює НВ ребра SВ (=S₂¹В₂¹), а із точки Ао - засічку радіусом, рівним стороні основи піраміди АВ=АіВь

В результаті отримаємо точку Во і трикутник SоАоВ₀ (це НВ грані SАВ). Аналогічно на основі сторони SоАо побудуємо трикутник SоАоСо і на основі сторони SоСо - трикутник S₀С₀В₀.

Основу АВС піраміди ми маємо в натуральну величину на П₁. Добудувавши трикутник АоВоСо, рівний трикутнику А₁В₁С₁ до розгортки бічної поверхні, отримаємо повну розгортку піраміди.

Додаток

Українсько-російський словник основних термінів

Література

1. В.Е Михайленко та ін. Інженерна та комп'ютерна графіка. - К.; Вища
шк., 2000. - 342 с.

2. В.Н. Богданов и др. Справочное руководство по черчению. - Москва.:
Машиностроение., -1984. - 864 с.