Пределы

Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом (). Можно сказать, что последовательность является функцией ().Числовую последовательность задают формулой n -го члена: . Например, если то , ,... и т.д.

Числовую последовательность также можно задать рекуррентным соотношением: , . Тогда , , и т.д.

Пример

Арифметическая прогрессия ‑ числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число , называемое разностью прогрессии: . Любая арифметическая прогрессия имеет вид Общий член арифметической прогрессии определяется так: .

Арифметическая прогрессия применяется при выполнении финансово-коммерческих расчетов, когда при начислении дивидендов, прибыли и т.д. используются простые проценты.

Пример

Первого марта 2008 г. некто положил в банк сумму в 500 тыс. рублей из расчета 60 процентов годовых. Известно, что сумма вклада растет линейно (простые проценты). Какова сумма вклада на 1 июля того же года?

► Для ответа на поставленный вопрос обозначим через сумму вклада в начальный момент (в данном случае 1-го марта), через год и на момент времени соответственно. Тогда из условия задачи получаем , где - учетная ставка (в данном случае a = 0, 6). Из полученного уравнения следует, что . Значение суммы вклада на момент времени можно получить из уравнения прямой, проходящей через две точки и :

,

откуда следует , где . Поскольку в данном примере = , то значение суммы вклада на 1 июля составит 500(1+0, 6× 1/3) = 500× 1, 2 = 600 (тыс.руб.). ◄

Пример

Геометрическая прогрессия ‑ числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на один и тот же множитель , называемый знаменателем прогрессии. Любая геометрическая прогрессия имеет вид Общий член геометрической прогрессии определяется по формуле .

Геометрическая прогрессия применяется при выполнении финансово-коммерческих расчетов, когда при начислении дивидендов, прибыли и т. д. используются сложные проценты.

Пример

Банк ежемесячно производит перерасчет суммы вклада, начисляя дополнительную сумму, пропорциональную значению текущего счета. Через сколько месяцев первоначальная сумма вклада удвоится?

► Обозначим через и сумму вклада в начальный момент и через месяцев соответственно. Тогда по условию задачи имеем:

, , ,

где ‑ заданная учетная ставка (100 %, если учетная ставка измеряется в процентах).Таким образом, последовательные значения суммы вклада на конец - го месяцаобразуют геометрическую прогрессию, общий член которой имеет следующий вид:

.

Из полученного соотношения следует, что если , то для нахождения соответствующего значения нужно решить уравнение . Логарифмируя это уравнение по основанию е, получим , откуда следует . Если, например, ежемесячно начисляется 5%, то = 0.05, и для получаем =14.2. Итак, через 15 месяцев сумма вклада увеличится более чем вдвое (через 14 месяцев она увеличится в 1.05¹⁴ = 1.98 раз, а через 15 месяцев ‑ в 2.08 раз по сравнению с первоначальной).◄

Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. Мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.

Число называется пределом последовательности если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .

Геометрически это означает, что для любой O (, ) найдётся такой номер , что все при n > будут принадлежать этой –окрестности. (" > 0 $ (n > Þ Î O (, ))). Если = C = const, то = C, т.к. = 0 < для любых n.

Чтобы найти предел последовательности, используя только его определение, следует поступить так:

1) предположить, что предел равен ;

2) решить неравенство < относительно n для любого > 0;

3) если решение неравенства имеет вид n > , то предположение, что предел равен , верно и предел найден.

ТЕОРЕМА 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Свойства предела.

Если , , то:

1) ;

2) ;

3) ;

4) при ().

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер n ₀ такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняют положительный (отрицательный) знак, то пишут (). Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся. В противном случае – расходящейся. Последовательность называется неубывающей, если £ для любого n. Если ³ , – то это невозрастающая последовательность. Невозрастающая и неубывающая последовательности называются монотонными. Если неравенства строгие ( < , > ), то последовательности называются строго монотонными.

ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е 2, 718.