Типовые примеры. Построить графики данных функций, исходя из основных элементарных функций

Построить графики данных функций, исходя из основных элементарных функций. Указать их области определения и области значений. Проверить, являются ли функции четными, нечетными или периодическими. В случае периодичности найти период:

► 1) . Преобразуем данную функцию к виду В качестве исходного возьмем график функции Имеем k =2 (сжатие в 2 раза вдоль оси Ox); раза вдоль оси Oy c последующей симметрией относительно оси Ox).

На рисунке изображены последовательные преобразования, приводящие к построению искомого графика.

Очевидно, что данная функция определена на всей числовой прямой, т.е. и для всех x, т.е.

Так как график не симметричен ни относительно оси Ox, ни относительно начала координат, функция не является ни четной, ни нечетной. Из периодичности функции с периодом следует периодичность данной функции с периодом

2) .

► Построим сначала график функции . Так как |- x | = | x |, то эта функция четная, и ее график получается из графика функции симметрией относительно оси Oy и сжатием в 6 раз вдоль оси Oy, поскольку .

Искомый график образуется из полученного графика сдвигом на 2 единицы вправо, так как а =2.

Поскольку график функции не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат, функция не является ни четной, ни нечетной. По графику видно, что функция непериодична,

3) С помощью преобразования графика гиперболы построить график функции .

► Сначала необходимо выделить «целую часть» данной дробно-рациональной функции: .

Далее последовательно выполняются следующие действия:

1) построить график функции ;

2) сдвинуть его на 3 единицы влево по оси OX (получить график функции );

3) полученный график симметрично отобразить относительно оси OX (график функции );

5) сдвинуть его на единицу вверх вдоль оси OY (график заданной функции).

Результат построений можно видеть на рисунке 1.1.