Квантование энергии частиц.

Введение.

Данные материалы представляют собой черновой вариант лекций по дисциплине «Физические основы получения информации», прочитанных весной 2006 года для студентов шестого семестра факультета Метрологической информатики. Главные задачи данной части курса – познакомить слушателей с основными представлениями квантовой механики, наиболее важными эффектами, рассматриваемыми в квантовой механике полей и микрочастиц, с некоторыми применениями этих эффектов для создания современных эталонов и развития высокоточных методов измерений. Обширность рассматриваемого материала предполагает описательный характер изложения. В данном разделе практически никогда не будут даваться длинные математические выводов и доказательства. За счет этого удается без подробного решения уравнения Шредингера обсудить особенности квантовых энергетических спектров атомов и молекул и их роль для развития спектроскопических методов изучения различных веществ, как в свободном пространстве, так и в присутствии электрических и магнитных полей. Обсуждаются вопросы взаимодействия световых пучков и пучков микрочастиц с веществом, в том числе некоторые вопросы нелинейной оптики. Особенно пристальное внимание будет уделено резонансным методам исследования вещества. Даны общие представления о макроскопических квантовых эффектах, как в стандартных твердых телах, так и в экстремальных условиях – в сильных магнитных полях и при низких температурах (различные типы эффекта Холла, сверхпроводимость, магнитные эффекты в сверхпроводниках, эффекты Джозефсона и их технические применения).

Основы взаимодействия электромагнитных волн и пучков частиц с веществом

А. Энергетические спектры атомов и молекул

Квантование энергии частиц.

Основная особенность энергетических спектров изолированных частиц – дискретность. Это означает, что в стационарных состояниях (нет зависимости от времени) допустимые значения энергии представляют собой набор отдельных величин. В классической физике этой особенности энергии не наблюдается – энергия любой классической системы изменяется непрерывно. Не надо, однако, думать, что в классической физике имеются только величины, изменяющиеся непрерывно. Заряды дискретны. Частоты колебаний струны дискретны (пожалуй, это первый пример квантования, причем квантования классической величины). С другой стороны, в квантовой физике не все величины дискретны (не все они квантуются). Например, энергия свободно движущегося электрона может изменяться непрерывно.

Существует простой принцип – если микрочастица совершает финитное движение (движение в ограниченной области пространства), то энергия обязательно квантуется, т.е. оказывается дискретной. Если движение происходит в бесконечном пространстве (инфинитное движение), то спектр энергии непрерывный.

Революционным моментом в физике было осознание необходимости квантования энергии электромагнитного поля – введения «частиц» поля, названных фотонами. Такое квантование возникло при описании равновесного процесса поглощения – испускания света в замкнутой полости при решении так называемой проблемы излучения абсолютно черного тела (эту проблему решил Макс Планк). Несколько позже похожая проблема возникла при изучении внешнего фотоэффекта, и Альберту Эйнштейну пришлось отказаться от представления о непрерывном характере изменения энергии электромагнитного поля и ввести уравнения, связывающие энергию и импульс фотонов с параметрами электромагнитной волны:

, (а.1.1)

. (а.1.2)

Соотношения (1) и (2) известны из предыдущих разделов курса Общей физики и мы не будем детально обсуждать их. Однако отметим, что на первый взгляд эти соотношения совершенно абсурдны: слева стоят величины, характеризующие частицы, справа – величины, определенные только для волн.

Лишь детальные экспериментальные исследования движения микрочастиц доказали, что подход Эйнштейна справедлив.

Следующим историческим шагом было изучение спектров излучения атомов. Задолго до создания квантовой механики было известно, что нагретые твердые тела и газы светятся (испускают электромагнитные волны). Было не совсем понятно, почему они светятся, и совсем неясно – почему они светятся на некоторых постоянных и дискретных длинах волн. Первое объяснение этих эффектов было дано Нильсом Бором. Бор создал полуклассическую теорию излучения и поглощения света атомом водорода. Он использовал идею Эйнштейна (квантовый подход) и дал квантовое описание движения электрона внутри атома. Бор предположил, что момент импульса электрона квантован, то есть произведение массы электрона на его скорость и на радиус орбиты равняется целому кратному числу постоянной Планка.

, . (а.1.3)

Поскольку электрон не может не двигаться, значение не является допустимым.

Бор получил формулы, определяющие стационарные энергии электрона в атоме водорода:

. (а.1.4)

Минус показывает, что энергии отрицательны, то есть электрон движется в потенциальной яме, и не может из неё улететь. Другими словами, электрон совершает финитное движение, и его энергия квантуется. Заметим, однако, очень важную терминологическую особенность. Обычно используемые слова «энергия электрона» в данном случае ошибочны. Конечно, речь идет об энергии системы «атом водорода», т.е. системы «протон + электрон». При этом надо помнить, что атом как целое может двигаться поступательно и иметь кинетическую энергию, которая изменяется непрерывно.

Теория Бора дала прекрасное совпадение с экспериментальными наблюдениями спектров, но только в отношении частот или длин волн излучения и поглощения. Однако интенсивности линий и запрет на появление некоторых линий, разрешаемых теорией Бора, не получили теоретического объяснения. Выход из создавшегося положения был найден после создания полноценной квантовой механики микрочастиц.

Из общих соображений было сформулировано уравнение Шредингера

, (а.1.5)

- оператор Гамильтона или оператор полной энергии системы, - волновая функция системы, имеющая тот физический смысл, что

– (а.1.6)

– вероятность обнаружения частицы в момент времени t в объеме вокруг точки .

Для атома водорода уравнение Шредингера удалось решить точно, причем решение подтвердило полученный Бором набор собственных значений энергии, но дополнительно позволило найти интенсивности линий излучения/поглощения и правила отбора разрешенных переходов.

Другим большим успехом теории Шредингера было доказательство того, что энергия частицы, совершающей финитное движение, обязательно квантуется. Это было продемонстрировано на примере частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Было найдено, что энергия частицы в яме может принимать только значения

, (а.1.7)

где m – масса частицы, – ширина потенциальной ямы, , 0 соответствует отсутствию частицы в яме.

Модель (а.1.7) не находит точного физического аналога и имеет только вспомогательный характер, но её развитие позволило рассмотреть туннельный эффект, имеющий применение при описании многих явлений в атомной физике, физике ядра, физике твердого тела и т.п.

Гораздо большее значение, чем модель бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы, имеет модель квантового гармонического осциллятора. Применимость модели осциллятора ограничена, но это одна из немногих квантовомеханических задач, имеющих точное решение; многие сложные квантовые задачи приближенно сводят к задаче о квантовом осцилляторе.