Нерівність Чебишева.Теорема Чебишева, її значення для практики.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової змінної із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного очікування. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості. Нехай є випадковою змінною із математичним очікуванням і дисперсією . Тоді для всякого виконується нерівність: З того, що одержуємо твердження теореми.

Теорема Бернуллістверджує: якщо т - кількість подій А в п попарно незалежних випробуваннях, а р є ймовірність настання події А в кожнім з випробувань, то при будь-якому є> 0 справедлива нерівність Ця формула є першим в історії варіантом закону великих чисел і по суті вважається початком теорії ймовірностей як галузі математичної науки. Теорема Бернуллі дає можливість оцінити кількості незалежних випробувань п при певних умовах їх проведення. У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів. Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює або 30. Теорема Ляпунова про стійкість. Якщо для системи рівнянь існує знаковизначена функція, похідна якої є знакопостійною функцією протилежного знака, то рішення системи стійке. Теорема Ляпунова про асимптотичну стійкість. Якщо для системи рівнянь існує знаковизначена функція, похідна якої є знаковизначеною функцією, але протилежного знака, то рішення системи буде стійким асимптотично. Теорема Ляпунова про нестійкість. Якщо для системи рівнянь існує яка-небудь функція, похідна якої є знаковизначеною функцією, причому в будь-якому як завгодно малому околі початку координат є область, у якій знак збігається зі знаком рішення системи нестійке. 31.Ланцюги Маркова

Ланцюгом Маркова називається послідовність випробувань, в кожному з яких може відбутися одна і тільки одна із несумісних подій повної групи, причому умовна ймовірність того, що в -му випробуванні наступить подія за умови, що в -му випробуванні появилась подія , не залежить від результатів попередніх випробувань. Ланцюг Маркова називається однорідним, якщо умовна ймовірність не залежить від , в цьому випадку пишуть . Якщо для ланцюга Маркова існує стаціонарний (граничний) розподіл, то . В цьому випадку, при ланцюг Маркова входить в стійкий режим, який характеризується властивостями:

а) середній час перебування в стані дорівнює , де – досить великий проміжок часу;

б) середній час повернення в стан дорівнює ;

в) з додатною ймовірністю з будь-якого стану ланцюг Маркова може перейти у будь-який інший стан .