Емпірична функція розподілу

Емпірична функція розподілу. Нехай для вибірки об'єму п з генеральної сукупності ВВ X, функція розподілу якої F(x), побудовано статистичний ряд частот.

Таблиця 1

Розподілом вибірки називають дискретну випадкову величину X*, яка приймає значення варіант вибірки x_i з ймовірностями p_i=n_i/n Функцію розподілу величини X* називають емпіричною (вибірковою) функцією розподілу і позначають F*(x). Отже, F*(x) = n_x/n, де - сума частот варіант x_i, менших х, п - об'єм вибірки.

Для кожного значення х €(-∞, +∞) F*(x) визначає відносну частоту події X < х, ймовірність цієї події визначає функція F(x) - теоретична функція розподілу. Згідно з законом великих чисел, для будь-якого х €(-∞, +∞) і довільного ε > 0 тобто при кожному х F*(x) збігається по ймовірності до F(x) і, отже, при великому об'ємі вибірки може служити наближеним значенням (оцінкою) функції розподілу генеральної сукупності в кожній точці х.

40. Полігон і гістограмма Якщо досліджувана випадкова величина X дискретна, то для графічного зображення статистичного розподілу вибірки викорис­товують полігон частот (або відносних частот). Полігоном частот називають ламану, відрізки якої сполу­чають точки (х_i; п_i) на координатній площині Охп.Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки (x_i, w_i) на координатній площині OxW. Для графічного зображення інтервального статистичного ряду будують гістограму частот (відносних частот) - східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють m_i/h. Величину m_i/h називають щільністю частоти. Аналогічно будується гістограма відносних частот. Висоти прямокутників у цьому випадку дорівнюють w_i/h. Величину w_i/h називають щільністю відносної частоти.

41. Статистичні оцінки параметрів розподілу(незміщені, зміщені, ефективні, обгрунтовані)

Статистичні оцінки — це статистики, що використовуються для оцінювання невідомих параметрів розподілів випадкової величини. Наприклад, якщо — це незалежні випадкові величини, з заданим нормальним розподілом , то буде середнім арифметичним результатів спостережень.

Оцінка параметра називається ефективною оцінкою в класі , якщо для будь-якої іншої оцінки виконується нерівність для будь-якого . Особливу роль в математичній статистиці відіграють незміщені оцінки. Якщо незміщена оцінка є ефективною оцінкою в класі незміщених, то таку статистику прийнято називати просто ефективною.

Незміщена оцінка в математичній статистиці — це точкова оцінка, математичне сподівання якої рівне параметру, що оцінюється. Означення - Статистика називається незміщеною оцінкою параметра , якщо .

В іншому випадку оцінка називається зміщеною, а випадкова величина називається її зміщенням.

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції. Нехай — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра . Тоді статистику , що набуває значення в , називають точковою оцінкою параметра .