Вопрос 9. Кванторы. Правила построения отрицаний высказывания, содержащего кванторы.

Слова, превращающие высказывательную форму или предикат в высказывание, называются кванторами. Выражение «для всех х» («для любого х», «для каждого х») называется квантором общности и обозначается " х. Выражение «существует такое х» («для некоторых х», «хотя бы для одного х», «найдется такое х») называется квантором существования и обозначается ∃ х.
Высказывание, полученное из предиката P(х) при помощи квантора общности, записывается в виде (∀ х ∈ Х) P(х) и читается: «Для любого (каждого, всякого) значения х из множества Х имеет место P(х)» или «Любой (каждый, всякий) элемент х из множества Х обладает свойством P». Например, если P(х) – «Натуральное число х является целым числом», то высказывание с квантором общности будет выглядеть так: «Любое натуральное число х является целым числом».
Высказывание, полученное из предиката P(х) при помощи квантора существования, записывается в виде (∃ х ∈ Х) P(х) и читается: «Для некоторого значения х из множества Х имеет место P(х)» или «Найдется элемент х из множества Х, который обладает свойством P», или «Существует элемент х в множестве Х, для которого выполняется свойство Р». Например, если P(х) – «Натуральное число х делится на 2», то высказывание с квантором существования будет выглядеть так: «Найдется натуральное число х, которое делится на 2».

Чтобы установить истинность утверждения с квантором общности, надо провести доказательство, чтобы установить его ложность – достаточно привести опровергающий его пример. Высказывание, содержащее квантор общности, может быть представлено в виде конъюнкции высказываний.(сложное высказывание, образованное с помощью союза «и»)

Высказывание с квантором существования истинно, если можно привести пример, то есть найти такое значение переменной, при котором предикат обращается в истинное высказывание. Ложность высказывания с квантором существования устанавливается путем доказательства. Высказывание, содержащее квантор существования, может быть представлено в виде дизъюнкции высказываний. (сложное высказывание, образованное из двух или более предложений с помощью союза «или»)