Понятие непрерывности функции в точке

Лекция

Понятие непрерывности функции в точке, а затем на промежутке Х рассматривается в связи с тем, что именно для таких функций изучаются правила нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего и наименьшего значений.

Рассмотрим один из возможных подходов к введению понятия функции, непрерывной в точке.

Учащимся предлагаются графики функций (с. 2), и задаётся вопрос: «На каких рисунках данные функции непрерывны в указанных точках, то есть графики каких функций могут быть построены, не отрывая карандаша»?

Ответ: 1, 5, 6.

Чтобы выявить, какими свойствами обладают указанные функции и не обладают остальные, ответим на следующие вопросы.

1, Определена ли данная функция в указанной точке?

2. Имеет ли она предел в этой точке?

3. Равен ли предел значению?

Делаем выводы.

Вводим определение. Функция называется непрерывной в точке х₀, если верно равенство

Замечание. Говоря о непрерывности функции в точке, будем рассматривать только внутренние точки области определения, так как понятие предела функции также было рассмотрено только для внутренних точек области определения. Например, на рис. 6 х = 0 не является внутренней точкой. Поэтому мы не будем рассматривать непрерывность функции в этой точке.

1) , х = 1. 2) 3)

4) 5) 6)

Далее учащимся могут быть предложены графики функций, для которых следует ответить на вопрос: «Какое условие определения непрерывности функции в точке не выполнено на рис. 2 - 4?»

Ценность введённого определения состоит в том, что оно подменяет вычисление предела функции в точке вычислением её значения.

В учебнике Мордковича А.Г. приводится утверждение «если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических... выражений, то функция у = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x)» со ссылкой на то, что математики доказали.

Пример 1.

Вычислить: . Ответ: 7.

Пример 2.

Вычислить: .

Пример 3.

Вернёмся к примеру 2, который мы использовали при введение предела функции в точке. По графику очевидно, что

Вычислить: .

Наконец определим функцию, непрерывную на промежутке Х.

Функцию называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.