Найдем расход жидкости по закону Дарси

.

Поскольку при установившемся движении несжимаемой жидкости расход Q сохраняется вдоль оси r струйки, имеем

, т.е. .

Так как k, m, h и j - постоянные, поэтому получаем

(3.18)

или в развернутом виде

. (3.19)

Это есть дифференциальное уравнение Лапласса в полярных координатах для установившегося плоскорадикального потока несжимаемой жидкости по закону Дарси.

Дважды интегрируя уравнение (3.18), находим его общее решение

или , откуда

Р=С₁lnr+С₁. (3.20)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ находим из граничных условий, которые в данном случае имеют вид:

при r = r_c P = P_c = const;

при r = r_k P = P_k = const. (3.21)

Подставляя граничные условия (3.21) в общее решение (3.20), находим

P_c = C₁lnr_c + C₂;

P_k = C₁lnR_k + C₂,

откуда

(3.22)

(3.23)

Подставляя (3.22) и (3.23) в общее решение (3.20), находим закон распределения давления в плоскорадиальном потоке:

,

или . (3.24)

Из выражений (3.24) следует, что давление в пласте распределяется по логарифмическому закону в зависимости от расстояния r точки до оси скважины; вращением кривой P = P(r) вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии (рис.11). Воронка депрессии имеет большую крутизну вблизи скважины. Следовательно, основная часть депрессии на пласт сосредоточена в призабойной зоне скважины, параметры которой сильно влияют на дебит скважины.

Рис.11 Рис.12

Изобарами (линиями равного давления) являются концентрические окружности ортогональные траекториям, совпадающими с радиусами указанных окружностей (рис.12).

Градиент давления находим из выражения

.

Подставляя значение С₁ из (3.22),

находим . (3.25)

Тогда скорость фильтрации и дебит скважины соответственно

. (3.26)

,

откуда

. (3.27)

Формулу (3.27) называют формулой Дюпюи.

Как следует из формул (3.25) и (3.26), градиент давления dP/dr и скорость фильтрации V в любой точке пласта обратно пропорциональны расстоянию r от этой точки до оси скважины (гиперболический закон). Из графика (рис.13) видно, что при приближении к скважине градиент давления и скорость фильтрации резко возрастают, достигая максимального значения на стенке скважины. Этот вывод очевиден из самого определения скорости фильтрации как отношения объемного расхода жидкости к площади фильтрационной поверхности, т.е.

.

Рис. 13 Рис.14

Дебит скважины, как это следует из формулы Дюпюи (3.27), прямо пропорционален перепаду давления DР = Р_к - Р_с и одинаков через любую цилиндрическую поверхность, соосную скважине, т.е. от r не зависит. На основании этой же формулы (3.27) можно отметить слабую зависимость дебита скважины Q от изменения значений R_k и r_c, поскольку последние входят под знак логарифма. Практическое значение этого факта состоит в том, что:

а) неизвестность точного значения радиуса контура питания R_к не вводит значительных погрешностей в расчет дебита скважины;

б) практически невозможно достигнуть значительного увеличения дебита скважины Q за счет увеличения ее радиуса r_с.

Расчетная формула Дюпюи (3.27) позволяет определить коэффициент проницаемости пласта k промысловым методом.

График зависимости дебита скважины Q от перепада давления на скважине DР_с = Р_к - Р_с называется индикаторной диаграммой; которая в рассматриваемом потоке представляется прямой линией (рис.14). Индикаторная диаграмма характеризует продуктивность скважины и помогает устанавливать режим работы скважины.

Отношение дебита скважины Q к перепаду давления DР_с называется коэффициентом продуктивности К, выражение которого находится из формулы (3.27)

. (3.28)

Размерность:

Определив промысловым методом коэф. продуктивности К, можно вычислить гидропроводность пласта e