Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Удк 517. 2

    Федеральное агентство по образованию

    Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

    Кафедра высшей математики

    Неопределенный и определенный интегралы.

    Дифференциальные уравнения

    Методические указания и индивидуальные задания

    К контрольной работе №4

     

    Волгоград 2010

     

    УДК 517.2

    Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальные уравнения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №4 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2010. — 24 c.

    Содержатся краткие теоретические сведения, образец решения типового варианта контрольной работы, индивидуальные задания.

    Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех неэкономических специальностей по дисциплине " Математика".

    Библиогр. назв. 3

     


     

    ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
    И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

    I. Неопределённый интеграл

    1. Первообразная функция и неопределённый интеграл

    Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на отрезке [ a; b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:

    F ¢ (x) = f (x).

    Любая непрерывная функция f (x) имеет бесчисленное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F (x)+ C, где
    С — произвольная постоянная.

    Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается .

    Таким образом, по определению,

    .

    2. Основные свойства неопределенного интеграла

    1. ; .

    2.

    3.

    4. .

    5. Если F (x) — первообразная функции f (x), то справедлива формула:

    6. Свойство инвариантности формул интегрирования: если , то где u – дифференцируемая функция переменной x.

    3. Таблица основных неопределенных интегралов

    1. . 2.
    3. 4.
    5. 6.
    7. 8.
    9. 10.
    11. 12. .
    13.
    14.
    15.

    4. Основные методы интегрирования

    4.1. Непосредственное интегрирование

    Используя тождественные преобразования подынтегральной функции и свойства неопределённых интегралов можно в ряде случаев данный интеграл свести к одному или нескольким табличным интегралам.

    Пример 1. Найти

    Решение. Используя правила интегрирования (свойства 4 и 3) и табличные интегралы 4, 5, 1, получим:

    = = = .

    При интегрировании каждого слагаемого появляется своя произвольная постоянная, но в конечном итоге записываем только одну, так как сумма постоянных есть постоянная.

    Правильность проведённого интегрирования можно проверить дифференцированием результата, при этом должна получиться подынтегральная функция.

    Проверка:

    .

    Пример 2. Найти .

    Решение. Выполняя деление, представим подынтегральную функцию как сумму двух функций, а затем, используя правила интегрирования 4, 3 и табличные интегралы 2, 1, получим:

    = = - = =

    = .

    Пример 3. Найти .

    Решение. = = = =

    = = .

    Часто при сведении данного интеграла к табличному используют преобразование дифференциала, которое называют подведением под знак дифференциала и затем применяют свойство инвариантности формул интегрирования (свойство 6).

    Пример 4. Найти .

    Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

    .

    = - = = .

    Здесь при нахождении второго интеграла использовано преобразование дифференциала и свойство 6.

    Пример 5. Найти .

    Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на сумму двух функций по формуле , затем применяем преобразование дифференциала и свойство 6. Получим: = = = + = =

    = .

    4.2. Метод замены переменной (метод подстановки)

    Часто вычисление интеграла упрощается, если ввести новую переменную интегрирования и в качестве такой новой переменной выбрать некоторую функцию z =ψ (x), входящую в подынтегральное выражение. Это целесообразно делать в тех случаях, когда множитель dz =ψ '(x) dx также находится в составе подынтегрального выражения.

    Формула замены переменной при такой подстановке имеет вид:

    = = . (1)

    Формулу (1) можно читать «справа налево», т.е. подбирать подстановку в виде :

    .

    Пример 6. Найти .

    Решение. Наличие множителя xdx даёт возможность применить подстановку z=x2 +1. Дифференцируя, получим dz = 2 x dx, x dx = dz, следовательно, .

    Пример 7. Найти .

    Решение. Введём подстановку z = arctg x. Эта замена целесообразна, так как под интегралом содержится дробь . Тогда .

    4.3. Метод интегрирования по частям

    Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые функции. Формула

    = u v - (2)

    называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой пользуются в тех случаях, когда интеграл более простой по сравнению с заданным интегралом .

    Пользуясь формулой (2), весьма важно правильно выбрать множители u и dv. Для разложения подынтегрального выражения на указанные множители нет общих правил. Вместе с тем можно руководствоваться следующими указаниями.

    Если подынтегральное выражение содержит произведение показательной или тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять многочлен.

    Если подынтегральное выражение содержит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

    Пример 8. Найти .

    Решение. Принимаем u= 2 х –5, dv = . Тогда , . Применяя формулу (2) получим:

    =

    = .

    Следует отметить, что при определении функции v по дифференциалу dv можно брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит. Поэтому удобно принять С =0.

    Пример 9. Найти .

    Решение.

    = .

    Рассмотренные выше методы вычисления неопределённых интегралов не дают общего правила для интегрирования любой функции. Однако можно выделить несколько классов функций (дробно-рациональные, тригонометрические и др.), интегралы от которых можно вычислять стандартными методами [1], [2], [3].

    II. Определённый интеграл

    1. Основные свойства определенного интеграла

    1. .

    2. .

    3. .

    4.

    5. — свойство аддитивности.

    6. Если f (x) ³ 0 на [ a, b ], то .

    2. Формула Ньютона – Лейбница

    Формула Ньютона – Лейбница является основной формулой интегрального исчисления, она позволяет вычислить определённый интеграл от любой функции f (x), для которой известна первообразная F (x):

    . (3)

    Разность F (b)- F (a) принято обозначать знаком двойной подстановки F (x) , поэтому формулу Ньютона-Лейбница можно записать и так: = F (x) .

    Пример 10. Вычислить .

    Решение. Используя свойства 4 и 3, а при нахождении первообразных табличные интегралы 2 и 1, получим:

    = = =4

    3. Метод замены переменной в определённом интеграле

    При использовании подстановки в определённом интеграле подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределённого интеграла. Особенность заключается в том, что нет необходимости возвращаться к прежней переменной. Достаточно дополнительно произвести замену пределов интегрирования, определив интервал, который должна пройти новая переменная.

    Пример 11. Вычислить .

    Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

    . Применим подстановку: , тогда . Определим новый промежуток интегрирования. Если то и t = 1; если , то = t и t = 0. Значит, Положительный знак перед последним интегралом взят в соответствии со свойством 2, при этом верхний и нижний пределы интегрирования поменялись местами.

    4. Интегрирование по частям в определённом интеграле

    Формула

    (4)

    называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

    Пример 12. Вычислить .

    Решение. = =

    = = .

    5. Интегралы с бесконечными пределами

    Пусть функция ƒ (х) непрерывна на промежутке [ a, +∞). Если интеграл при в → ∞ имеет конечный предел, то этот предел называют несобственным интегралом и обозначают . При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.

    Таким образом, по определению,

    .

    Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

    Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; в ]:

    .

    Пример 13.

    = .

    Пример 14.

    Так как предел не существует, то данный интеграл расходится.

    6. Вычисление площади плоской фигуры

    Площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми х=а, х=в (рис.1) находится по формуле:

    (5)


    S
    Рис. 1
    b
    a
    В случае, когда данная фигура ограничена только двумя кривыми и (рис. 2), прежде всего следует найти абсциссы точек пересечения этих кривых х1 = а и х2 = в. После этого для вычисления площади такой фигуры можно использовать формулу (5).

    Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х
    и у= 2- х2.

    Решение. Найдём точки пересечения прямой у = х с параболой у =2– х 2.

    Для этого решим систему уравнений:

    Значение у=х из первого уравнения подставим во второе, получим:
    х= 2– х 2, откуда найдём х 1=-2, х 2=1. Тогда из первого уравнения у 1=-2, у 2=1.

    Следовательно, линии пересекаются в точках А (-2; -2) и В (1; 1) (рис. 3).

    Искомая площадь, согласно формуле (5), равна:

     

    III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

    1. Основные понятия

    Определение 3. Уравнение вида

    F (x, y, ) = 0 (6)

    где х — независимая переменная, у — искомая функция, у ¢ — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

    Решением дифференциального уравнения (6) называется всякая функция у= φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

    Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесчисленное множество решений. Общим решением уравнения (6) называется такое решение у= φ (х, С), которое при любом значении произвольной постоянной С удовлетворяет этому уравнению.

    Решение, которое получается из общего решения при некотором конкретном числовом значении С=С0 называется частным решением.

    Частное решение имеет вид у = φ (х, С0). Чтобы найти С0 задаётся начальное условие у= у 0 при х= х 0, которому должно удовлетворять искомое частное решение.

    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

    Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

    М (x) N (y) dx + P (x) Q (y) dy =0. (7)

    Разделив обе части уравнения (7) на произведение P (x) N (y) получим уравнение с разделёнными переменными:

    . (8)

    Почленное интегрирование уравнения (8) приводит к выражению:

    ,

    которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения и называется общим интегралом этого уравнения.

    Пример 16. Решить уравнение х dx + y (4 + x 2) dy =0.

    Решение. Разделим обе части уравнения на (4+ x 2) . Получим:

    Выполняем интегрирование:

    ,

    .

    Полученное выражение есть общий интеграл данного уравнения.

    3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

    Определение 5. Уравнение вида

    у¢ + р (х) у = f (x), (9)

    где р (х) и f (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

    Будем искать решение у (х) уравнения (9) в виде произведения двух функций у (х)= U (x) V (x). Тогда у ¢ = U ¢ (x) V (x)+ U (x) V ¢ (x) и уравнение (9) примет вид:

    U ¢ V + UV ¢ + p (x) UV = f (x), или

    U ¢ V + U (V ¢ + p (x) V)= f (x).

    Выберем функцию V такой, чтобы выражение в скобке V ¢ + p (x) V равнялось нулю. Тогда получим два уравнения с разделяющимися переменными:
    V ¢ + p (x) V =0 и U ¢ V = f (x).

    Решая первое уравнение находим V= V (x), причём достаточно взять частное решение, когда произвольная постоянная равна 0. Подставив найденное значение V (x) во второе уравнение и решив его, найдём U (x, C). Возвращаясь к переменной у получим общее решение уравнения (9) у (х)= U (x, С) V (x).

    К линейным уравнениям приводятся уравнения Бернулли, которые отличаются от линейных наличием в правой части, кроме функции f (x), ещё и множителя уп, где п ≠ 0, п ≠ 1. Общий вид такого уравнения:

    у ¢ + р (х) у = f (x) y n.

    На практике при решении уравнений Бернулли их не сводят к линейным, а интегрируют, как и линейные, подстановкой у (х)= U (x) V (x).

    Пример 17. Решить уравнение у ¢ + = у2х.

    Решение. Дано уравнение Бернулли. Сделав замену у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢, получим: U ¢ V + UV ¢ + =(UV)2 х или U ¢ V + U (V ¢ + )= U2V2х.

    Приравнивая к нулю выражение в скобках, получим два уравнения:

    V ¢ + = 0 и U ¢ V = U 2 V 2х.

    Решаем первое уравнение. V ¢ + = 0, ,

    , V = .

    Подставим найденное значение V во второе уравнение и решим его:

    U = .

    Значения U (x) и V (x) подставим в решение у = U V. Получим:

    у = — это и есть общее решение данного уравнения.

    РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

    1. Найти неопределённые интегралы:

    а) , б) , в) .

    В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

    Решение. а) Введём подстановку t = - x 2.Тогда dt = - 2 x dx, xdx = - dt.

    = = = .

    Проверка. .

    б) Применим метод интегрирования по частям, тогда

    = = =

    = = =

    = = =

    = .

    Проверка. ()' = .

    в) Из квадратного трёхчлена знаменателя выделим полный квадрат:

    Тогда .

    Введём подстановку . Получим:

    = .

    2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    Решение. = .

    Следовательно, данный интеграл расходится.

    3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 хх 2, у = 2 х,
    х = 0, х = 2.

    Решение. Данная фигура ограничена сверху графиком показательной функции у = 2 х, снизу – параболой у = 2 хх 2, с боков – отрезками прямых х = 0, х = 2, параллельных оси Оу (Рис.4).

     

    у

     

    у= 2 х

    х= 2
     

     

    у= 2 х – х 2
    х =0

     
    х
    0

    Рис.4

     

    Следовательно, S =

    =

    4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у0 = 1 при х0 = π.

    Решение. Данное уравнение является линейным, поэтому его можно решить с помощью подстановки у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢.

    Тогда данное уравнение примет вид:

    U ¢ V + UV ¢ + UV tg x = , или V (U ¢ + U tg x) + U V ¢ = .

    Полагая выражение в скобке равным нулю, получим два уравнения:

    U ¢ + U tg x =0 и U V ¢ = .

    Решаем первое уравнение: + U tg x = 0, ,

    , .

    При С = 0 получим частное решение U = cos x, подставим его во второе уравнение и решим полученное уравнение:

    cos x = , , V = tg x + C.

    Общее решение исходного уравнения у = U V = cos x (tg x + C). Из него выделим частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (π) = 1: 1 = cos π (tg π + C), 1 = - 1 (0 + С), откуда С = - 1. Подставляя значение
    С = -1 в общее решение, получим частное решение исходного уравнения:
    у = cos x (tg x - 1) = sin x – cos x.

    ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

    1. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

    1. а) б) ; в)

    2. а) б) ; в)

    3. а) б) ; в)

    4. а) б) ; в)

    5. а) б) ; в)

    6. а) б) ; в)

    7. а) б) ; в)

    8. а) б) ; в)

    9. а) б) ; в)

    10. а) б) ; в)

    11. а) б) ; в)

    12. а) б) ; в)

    13. а) б) ; в)

    14. а) б) ; в)

    15. а) б) ; в)

    16. а) б) ; в)

    17. а) б) ; в)

    18. а) б) ; в)

    19. а) б) ; в)

    20. а) б) ; в)

    21. а) б) ; в)

    22. а) б) ; в)

    23. а) б) ; в)

    24. а) б) ; в)

    25. а) б) ; в)

    26. а) б) ; в)

    27. а) б) ; в)

    28. а) б) ; в)

    29. а) б) ; в)

    30. а) б) ; в)

    2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.


    1. .

    2. .

    3. .

    4. .

    5. .

    6. .

    7. .

    8. .

    9. .

    10. .

    11. .

    12. .

    13. .

    14. .

    15. .

    16. .

    17. .

    18. .

    19. .

    20. .

    21. .

    22. .

    23. .

    24. .

    25. .

    26. .

    27. .

    28. .

    29. .

    30. .


    3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

    1. 3 x 2 – 4 y = 0, 2 x – 4 y + 1 = 0.

    2. y = x 3 + 3, x = 0, y = x – 1, x = 2.

    3. x = 4, y = 0.

    4. 4 x – 3 y 2 = 0, 4 x + 2 y – 1 = 0.

    5. y = x 3 – 2, x = 0, y = x + 2, x = –3.

    6. , y = x.

    7. 2 x + 3 y 2 = 0, 2 x + 2 y + 1 = 0.

    8. y = x 3 – 1, x = 0, y = x + 3, x = –2.

    9. x y = 6, x + y – 7 = 0.

    10. 3 x 2 – 2 y = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0.

    11. y = x 3 + 1, x = 0, y = x + 5, x = –2.

    12. y = 7 x 2, y = 1 + 2 xx 2.

    13. 2 x – 3 y 2 = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0.

    14. y = x 3 + 2, x = 0, y = x + 6, x = –2.

    15. y = 2, x = 0.

    16. 4 x + 3 y 2 = 0, 4 x + 2 y + 1 = 0.

    17. y = x 3 + 3, x = 0, y = x + 7, x = –2.

    18. y = x + 1, y = cos x, y = 0 (x ≤ 0).

    19. 3 x 2 + 4 y = 0, 2 x – 4 y – 1 = 0.

    20. y = x 3 – 2, x = 0, y = x – 6, x = 2.

    21. x y = 4, x + y – 5 = 0.

    22. 3 x 2 – 4 y = 0, 2 x + 4 y – 1 = 0.

    23. y = x 3 – 1, x = 0, y = x – 5, x = 2.

    24. y = 2 x, y = 2 xx 2, x = 0, x = 2.

    25. 3 x 2 – 2 y = 0, 2 x – 2 y + 1 = 0.

    26. y = x 3 + 2, x = 0, y = x – 2, x = 2.

    27. y = – 3 x 2 – 3 x, y + 9 x + 9 = 0.

    28. 3 x 2 + 4 y = 0, 2 x + 4 y + 1 = 0.

    29. y = x 3 + 1, x = 0, y = x – 3, x = 2.

    30. y = – x 2 + 4, 2 x + y – 4 = 0.

    4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное
    решение, удовлетворяющее начальному условию: y = y0 при x = x0.

    1. y 0 = 0, x 0 = .

    2. y 0 = 3, x 0 = .

    3. y 0 = 1, x 0 = 3.

    4. y 0 = 2, x 0 = 0.

    5. y 0 = , x 0 = – 1.

    6. y 0 = 2, x 0 = 1.

    7. y 0 = 5, x 0 = -2.

    8. y 0 = 1, x 0 = π.

    9. y 0 = 0, x 0 = e.

    10. y 0 = 4, x 0 = 0.

    11. y 0 = 1, x 0 = 0.

    12. y 0 = , x 0 = 1.

    13. y 0 = 3, x 0 = 0.

    14. y 0 = e, x 0 = 1.

    15. y 0 = e, x 0 = 1.

    16. y 0 = 2, x 0 = 0.

    17. y 0 = , x 0 = 0.

    18. y 0 = 1, x 0 = 0.

    19. y 0 = 1, x 0 = .

    20. y 0 = 1, x 0 = 1.

    21. y 0 = 1, x 0 = 3.

    22. y 0 = 3, x 0 = 0.

    23. y 0 = 0, x 0 = .

    24. y 0 = 2, x 0 = 0.

    25. y 0 = 1, x 0 = 0.

    26.

    <== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
    Информационное обеспечение обучения | Новинка! 2 тура по цене одногоЭкскурсионный тур выходного дня 2 ночи/1день




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.