![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Удк 517. 2
Федеральное агентство по образованию Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальные уравнения Методические указания и индивидуальные задания К контрольной работе №4
Волгоград 2010
УДК 517.2 Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальные уравнения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №4 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2010. — 24 c. Содержатся краткие теоретические сведения, образец решения типового варианта контрольной работы, индивидуальные задания. Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех неэкономических специальностей по дисциплине " Математика". Библиогр. назв. 3
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ I. Неопределённый интеграл 1. Первообразная функция и неопределённый интеграл Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на отрезке [ a; b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F ¢ (x) = f (x). Любая непрерывная функция f (x) имеет бесчисленное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F (x)+ C, где Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается Таким образом, по определению,
2. Основные свойства неопределенного интеграла 1. 2. 3. 4. 5. Если F (x) — первообразная функции f (x), то справедлива формула: 6. Свойство инвариантности формул интегрирования: если 3. Таблица основных неопределенных интегралов
4. Основные методы интегрирования Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение 4.1. Непосредственное интегрирование Используя тождественные преобразования подынтегральной функции и свойства неопределённых интегралов можно в ряде случаев данный интеграл свести к одному или нескольким табличным интегралам. Пример 1. Найти Решение. Используя правила интегрирования (свойства 4 и 3) и табличные интегралы 4, 5, 1, получим:
При интегрировании каждого слагаемого появляется своя произвольная постоянная, но в конечном итоге записываем только одну, так как сумма постоянных есть постоянная. Правильность проведённого интегрирования можно проверить дифференцированием результата, при этом должна получиться подынтегральная функция. Проверка:
Пример 2. Найти Решение. Выполняя деление, представим подынтегральную функцию как сумму двух функций, а затем, используя правила интегрирования 4, 3 и табличные интегралы 2, 1, получим:
= Пример 3. Найти Решение. = Часто при сведении данного интеграла к табличному используют преобразование дифференциала, которое называют подведением под знак дифференциала и затем применяют свойство инвариантности формул интегрирования (свойство 6). Пример 4. Найти Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
Здесь при нахождении второго интеграла использовано преобразование дифференциала Пример 5. Найти Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на сумму двух функций по формуле = 4.2. Метод замены переменной (метод подстановки) Часто вычисление интеграла упрощается, если ввести новую переменную интегрирования и в качестве такой новой переменной выбрать некоторую функцию z =ψ (x), входящую в подынтегральное выражение. Это целесообразно делать в тех случаях, когда множитель dz =ψ '(x) dx также находится в составе подынтегрального выражения. Формула замены переменной при такой подстановке имеет вид:
Формулу (1) можно читать «справа налево», т.е. подбирать подстановку в виде
Пример 6. Найти Решение. Наличие множителя xdx даёт возможность применить подстановку z=x2 +1. Дифференцируя, получим dz = 2 x dx, x dx = Пример 7. Найти Решение. Введём подстановку z = arctg x. Эта замена целесообразна, так как под интегралом содержится дробь 4.3. Метод интегрирования по частям Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые функции. Формула Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:— Разгрузит мастера, специалиста или компанию; — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой; — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях; — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет; — Позволит записываться на групповые и персональные посещения; — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам; — Включает в себя сервис чаевых. Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе
называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой пользуются в тех случаях, когда интеграл Пользуясь формулой (2), весьма важно правильно выбрать множители u и dv. Для разложения подынтегрального выражения на указанные множители нет общих правил. Вместе с тем можно руководствоваться следующими указаниями. Если подынтегральное выражение содержит произведение показательной или тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять многочлен. Если подынтегральное выражение содержит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на многочлен, то за множитель u следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Пример 8. Найти Решение. Принимаем u= 2 х –5, dv =
= Следует отметить, что при определении функции v по дифференциалу dv можно брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит. Поэтому удобно принять С =0. Пример 9. Найти Решение. = Рассмотренные выше методы вычисления неопределённых интегралов не дают общего правила для интегрирования любой функции. Однако можно выделить несколько классов функций (дробно-рациональные, тригонометрические и др.), интегралы от которых можно вычислять стандартными методами [1], [2], [3]. II. Определённый интеграл 1. Основные свойства определенного интеграла 1. 2. 3. 4. 5. 6. Если f (x) ³ 0 на [ a, b ], то 2. Формула Ньютона – Лейбница Формула Ньютона – Лейбница является основной формулой интегрального исчисления, она позволяет вычислить определённый интеграл от любой функции f (x), для которой известна первообразная F (x):
Разность F (b)- F (a) принято обозначать знаком двойной подстановки F (x) Пример 10. Вычислить Решение. Используя свойства 4 и 3, а при нахождении первообразных табличные интегралы 2 и 1, получим:
3. Метод замены переменной в определённом интеграле При использовании подстановки в определённом интеграле подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределённого интеграла. Особенность заключается в том, что нет необходимости возвращаться к прежней переменной. Достаточно дополнительно произвести замену пределов интегрирования, определив интервал, который должна пройти новая переменная. Пример 11. Вычислить Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
4. Интегрирование по частям в определённом интеграле Формула
называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле. Пример 12. Вычислить Решение. = 5. Интегралы с бесконечными пределами Пусть функция ƒ (х) непрерывна на промежутке [ a, +∞). Если интеграл Таким образом, по определению,
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; в ]:
Пример 13. = Пример 14. Так как предел 6. Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры, ограниченной кривыми
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х Решение. Найдём точки пересечения прямой у = х с параболой у =2– х 2. Для этого решим систему уравнений: Значение у=х из первого уравнения подставим во второе, получим:
Искомая площадь, согласно формуле (5), равна:
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Основные понятия Определение 3. Уравнение вида F (x, y, y¢) = 0 (6) где х — независимая переменная, у — искомая функция, у ¢ — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Решением дифференциального уравнения (6) называется всякая функция у= φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесчисленное множество решений. Общим решением уравнения (6) называется такое решение у= φ (х, С), которое при любом значении произвольной постоянной С удовлетворяет этому уравнению. Решение, которое получается из общего решения при некотором конкретном числовом значении С=С0 называется частным решением. Частное решение имеет вид у = φ (х, С0). Чтобы найти С0 задаётся начальное условие у= у 0 при х= х 0, которому должно удовлетворять искомое частное решение. 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: М (x) N (y) dx + P (x) Q (y) dy =0. (7) Разделив обе части уравнения (7) на произведение P (x) N (y) получим уравнение с разделёнными переменными:
Почленное интегрирование уравнения (8) приводит к выражению:
которое в неявной форме определяет решение исходного уравнения и называется общим интегралом этого уравнения. Пример 16. Решить уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на (4+ x 2) Выполняем интегрирование:
Полученное выражение есть общий интеграл данного уравнения. 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Определение 5. Уравнение вида у¢ + р (х) у = f (x), (9) где р (х) и f (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать решение у (х) уравнения (9) в виде произведения двух функций у (х)= U (x) V (x). Тогда у ¢ = U ¢ (x) V (x)+ U (x) V ¢ (x) и уравнение (9) примет вид: U ¢ V + UV ¢ + p (x) UV = f (x), или U ¢ V + U (V ¢ + p (x) V)= f (x). Выберем функцию V такой, чтобы выражение в скобке V ¢ + p (x) V равнялось нулю. Тогда получим два уравнения с разделяющимися переменными: Решая первое уравнение находим V= V (x), причём достаточно взять частное решение, когда произвольная постоянная равна 0. Подставив найденное значение V (x) во второе уравнение и решив его, найдём U (x, C). Возвращаясь к переменной у получим общее решение уравнения (9) у (х)= U (x, С) V (x). К линейным уравнениям приводятся уравнения Бернулли, которые отличаются от линейных наличием в правой части, кроме функции f (x), ещё и множителя уп, где п ≠ 0, п ≠ 1. Общий вид такого уравнения: у ¢ + р (х) у = f (x) y n. На практике при решении уравнений Бернулли их не сводят к линейным, а интегрируют, как и линейные, подстановкой у (х)= U (x) V (x). Пример 17. Решить уравнение у ¢ + Решение. Дано уравнение Бернулли. Сделав замену у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢, получим: U ¢ V + UV ¢ + Приравнивая к нулю выражение в скобках, получим два уравнения: V ¢ + Решаем первое уравнение. V ¢ +
Подставим найденное значение V во второе уравнение и решим его:
Значения U (x) и V (x) подставим в решение у = U V. Получим: у = РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА 1. Найти неопределённые интегралы: а) В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием. Решение. а) Введём подстановку t = - x 2.Тогда dt = - 2 x dx, xdx = -
Проверка. б) Применим метод интегрирования по частям, тогда
= = = Проверка. ( в) Из квадратного трёхчлена знаменателя выделим полный квадрат: Тогда Введём подстановку = 2. Вычислить несобственный интеграл Решение. Следовательно, данный интеграл расходится. 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 х – х 2, у = 2 х, Решение. Данная фигура ограничена сверху графиком показательной функции у = 2 х, снизу – параболой у = 2 х – х 2, с боков – отрезками прямых х = 0, х = 2, параллельных оси Оу (Рис.4).
![]() ![]()
![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]()
Следовательно, S = = 4. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Данное уравнение является линейным, поэтому его можно решить с помощью подстановки у = UV, у ¢ = U ¢ V + UV ¢. Тогда данное уравнение примет вид: U ¢ V + UV ¢ + UV tg x = Полагая выражение в скобке равным нулю, получим два уравнения: U ¢ + U tg x =0 и U V ¢ = Решаем первое уравнение:
При С = 0 получим частное решение U = cos x, подставим его во второе уравнение и решим полученное уравнение: cos x Общее решение исходного уравнения у = U V = cos x (tg x + C). Из него выделим частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (π) = 1: 1 = cos π (tg π + C), 1 = - 1 (0 + С), откуда С = - 1. Подставляя значение ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 1. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием. 1. а) 2. а) 3. а) 4. а) 5. а) 6. а) 7. а) 8. а) 9. а) 10. а) 11. а) 12. а) 13. а) 14. а) 15. а) 16. а) 17. а) 18. а) 19. а) 20. а) 21. а) 22. а) 23. а) 24. а) 25. а) 26. а) 27. а) 28. а) 29. а) 30. а) 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. 3 x 2 – 4 y = 0, 2 x – 4 y + 1 = 0. 2. y = x 3 + 3, x = 0, y = x – 1, x = 2. 3. 4. 4 x – 3 y 2 = 0, 4 x + 2 y – 1 = 0. 5. y = x 3 – 2, x = 0, y = x + 2, x = –3. 6. 7. 2 x + 3 y 2 = 0, 2 x + 2 y + 1 = 0. 8. y = x 3 – 1, x = 0, y = x + 3, x = –2. 9. x y = 6, x + y – 7 = 0. 10. 3 x 2 – 2 y = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0. 11. y = x 3 + 1, x = 0, y = x + 5, x = –2. 12. y = 7 x 2, y = 1 + 2 x – x 2. 13. 2 x – 3 y 2 = 0, 2 x + 2 y – 1 = 0. 14. y = x 3 + 2, x = 0, y = x + 6, x = –2. 15. 16. 4 x + 3 y 2 = 0, 4 x + 2 y + 1 = 0. 17. y = x 3 + 3, x = 0, y = x + 7, x = –2. 18. y = x + 1, y = cos x, y = 0 (x ≤ 0). 19. 3 x 2 + 4 y = 0, 2 x – 4 y – 1 = 0. 20. y = x 3 – 2, x = 0, y = x – 6, x = 2. 21. x y = 4, x + y – 5 = 0. 22. 3 x 2 – 4 y = 0, 2 x + 4 y – 1 = 0. 23. y = x 3 – 1, x = 0, y = x – 5, x = 2. 24. y = 2 x, y = 2 x – x 2, x = 0, x = 2. 25. 3 x 2 – 2 y = 0, 2 x – 2 y + 1 = 0. 26. y = x 3 + 2, x = 0, y = x – 2, x = 2. 27. y = – 3 x 2 – 3 x, y + 9 x + 9 = 0. 28. 3 x 2 + 4 y = 0, 2 x + 4 y + 1 = 0. 29. y = x 3 + 1, x = 0, y = x – 3, x = 2. 30. y = – x 2 + 4, 2 x + y – 4 = 0. 4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|