Методы решения.

Простой перебор. Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа 2 * x₁ + 5 * x₂ ≤ 10, то, очевидно, 0 ≤ x₁ ≤ 10 / 2 = 5 и 0 ≤ x₂ ≤ 10 / 2 = 5. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, то можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его " обращенную" к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед. Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1 / 10ⁿ последовательно при n = 2, 3, …, вычисляя значения целевой функции и проверяя наличие ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено. (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1 / 10ⁿ).

Направленный перебор. Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно – так называемый метод случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения-неравенства переходят в равенства). Остановка - в вершине линейного многогранника. Решение найдено. (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆; если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆ / 2, ∆ / 4 и т.д.).

Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.

Геометрический метод. Если система ограничений задачи линейного программирования представлена в виде системы линейных неравенств с двумя переменными, то такая задача может быть решена геометрически. Таким образом, данный метод решения задачи линейного программирования имеет очень узкие рамки применения. Однако он представляет большой интерес с точки зрения выработки наглядных представлений о сущности задач линейного программирования. Геометрический (или графический) метод предполагает последовательное выполнение ряда шагов. Ниже представлен порядок решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации.

1. Сформулировать задачу линейного программирования.

2. Построить на плоскости {х₁, х₂} прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

3. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

4. Найти область допустимых решений.

5. Построить прямую c₁ * x₁ + c₂ * x₂ = h, где h - любое положительное число, желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник решений.

6. Перемещать найденную прямую параллельно самой себе в направлении увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума) целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо будет установлена неограниченность функции на множестве решений.

7. Определить координаты точки максимума (минимума) функции и вычислить значение функции в этой точке.