Линеаризация нелинейных моделей. Выбор формы модели.

В нелинейных зависимостях, не являющихся классическими полиномами, обязательно проводится предварительная линеаризация, которая заключается в преобразовании или переменных, или параметров модели, или в комбинации этих преобразований.

Способы линеаризации:

1. Замена переменных. Замена переменных заключается в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными и сведении нелинейной регрессии к линейной.

Например, рассмотрим полиномиальную модель:

y=β ₀+β ₁x+β ₂x²+… +β _kx^k+ε

При замене x=z₁, x²=z₂, …, x^k=z_k получим линейное уравнение регрессии:

y=β ₀+β ₁z₁+β ₂z₂+… +β _kz_k +ε

Рассмотрим гиперболическую модель:

y= β ₀+β ₁/x+ε

При замене z=1/x получим линейное уравнение регрессии:

y= β ₀+ β ₁z+ε

2. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применяется обычно, когда мультипликативную модель необходимо привести к линейному виду.

3. Комбинированный метод.

Стоит отметить, что регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, всегда можно привести к линейному виду. Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Рассмотрим некоторые нелинейные модели:

-Полиномиальная модель различных степеней;

-Гиперболическая модель;

-Полулогарифмические модели - такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо исследовать зависимость темпа роста или прироста экономических показателей (прирост объема выпуска от процентного увеличения затрат ресурсов). А также используется обычно в тех случаях, когда необходимо исследовать, как процентное изменение независимой переменной влияет на абсолют.изменение зависимой переменной

-Степенная (мультипликативная) – кривые спроса и предложения, производственная функция Кобба-Дугласа, кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения и выпуска нового вида изделий, зависимость валового национального дохода от уровня занятости; - Показательные (экспоненциальные) модели используются, когда экономические показатели характеризуются приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени.