ТМО вивчення нумерації чисел 21-100. 4 страница

ТМО розгляду письмових прийомів віднімання не мають принципових відмінностей з аналогічними випадками додавання. Саме тому пропонуємо читачам для їх засвоєння виконати самостійно завдання №№ 10-12 (див. завдання у кінці розділу). Разом з тим, враховуючи індивідуальні особливості учнів класу та рівень математичної підготовленості класу в цілому, можна залучити учнів до “відкриття” алгоритму письмового віднімання. З цією метою можна провести для прикладу 98-65 таку бесіду: як будемо записувати зменшуване і від’ємник при відніманні в стовпчик? – один під одним так, щоб одиниці були під одиницями, а десятки під десятками. З чого будемо розпочинати віднімання? – з одиниць. Скільки буде, якщо від 8 одиниць відняти 5 одиниць? – 3 од. Де запишемо одержаний результат? – під одиницями. Що будемо віднімати тепер? – десятки. Скільки буде, якщо від 9 десятків відняти 6 десятків? – 3 десятка. Де запишемо одержаний результат? – під десятками. Чому дорівнює різниця? – 33. Отже, 98-65=33.

44. ТМО вивчення усних і письмових прийомів додавання та віднімання чисел у концентрі “Тисяча”.

У концентрі “Тисяча” учні ознайомлюються як з усними, так і з письмовими прийомами додавання і віднімання трицифрових чисел. Прийоми усних обчислень у межах тисячі ґрунтуються на відомих дітям із попереднього концентру правилах і властивостях арифметичних дій. Саме тому, враховуючи індивідуальні особливості учнів класу та наявний у кожного з них рівень володіння уміннями і навичками, з метою особистісної орієнтації навчального процесу та актуалізації опорних знань школярів слід повторити: а) склад двоцифрових і трицифрових чисел; б) лічбу десятками і одиницями; в) відповідні усні і письмові прийоми додавання і віднімання двоцифрових чисел.

Отже, успішне засвоєння прийомів обчислень над трицифровими числами вимагатиме від учнів знання складу трицифрових чисел; усвідомлення того, що лічба сотнями ведеться так само, як і лічба десятками чи одиницями; уміння переносити відомі прийоми на нову числову область. Оскільки відповідні теоретичні знання і практичні уміння вже засвоєні дітьми, а в даному концентрі вони лише закріплюються і узагальнюються на новому числовому матеріалі, то цілком обґрунтованим видається думка про те, що ТМО вивчення усних і письмових прийомів додавання і віднімання трицифрових чисел аналогічні до тих, які використовувалися у попередньому концентрі. Відмінним повинен бути рівень самостійності учнів при ознайомленні та формуванні прийомів обчислень. Таким чином, підготовча робота до вивчення усних прийомів додавання і віднімання трицифрових чисел розпочинається ще у концентрі “Сотня” і продовжується при вивченні нумерації трицифрових чисел, коли діти обчислюють значення відповідних виразів (Яких саме?).

З якими ж випадками додавання і віднімання трицифрових чисел ознайомлюються школярі у концентрі “Тисяча”? Всі випадки арифметичних дій у цьому концентрі можна поділити на дві великі групи: на усні і письмові. У свою чергу усні прийоми додавання і віднімання розглядаються у такому порядку:

1) нумераційні випадки додавання і віднімання, які розглядаються ще при вивченні нумерації трицифрових чисел, наприклад: 650+1, 470-1, 599+1, 530+8, 547-7;

2) випадки додавання і віднімання круглих чисел, наприклад, 700+200, 800-300, які зводяться до додавання і віднімання одноцифрових іменованих чисел;

3) прийоми обчислень у випадках додавання і віднімання круглих десятків виду 90+60, 120-30, які ґрунтуються на табличних випадках;

4) випадки додавання і віднімання виду: 320+540, 470-320, які зводяться до додавання і віднімання двоцифрових іменованих чисел або ґрунтуються на правилах: додавання суми до суми чи віднімання суми від суми [(400+70)-(300+20)], чи додавання суми до числа, чи числа до суми [320+(500+40)], чи віднімання суми від числа, чи числа від суми;

5) прийоми обчислень у випадках додавання виду 430+500, 430+50, 200+640, 20+640, які спираються на правило додавання числа до суми чи правило додавання суми до числа [наприклад, 430+500=(400+30)+500 або 430+500=(400+30)+500; 200+640 = 200 + (600 + 40) або 200+640=200+(600+40)];

6) випадки віднімання виду 760-400 і 760-40, які ґрунтуються на правилі віднімання числа від суми (наприклад, 760-400=(700+60)-40);

7) випадки додавання виду 560+230, які спираються на правило додавання суми до суми [наприклад, 560+230=(500+60)+(200+30)] або на правило додавання суми до числа [наприклад, 560+230=560+(200+30)] або на правило додавання числа до суми (наприклад, 560+230=(500+60)+230) або на додаванні двоцифрових іменованих чисел (наприклад, 56 дес.+23 дес.);

8) випадки віднімання виду 860-250, які можуть ґрунтуватися або на правилі віднімання суми від суми (наприклад, 860-250=(800+60)-(200+50)), або на правилі віднімання суми від числа [наприклад, 860-250=860-(200+50)], або розглядається як віднімання двоцифрових іменованих чисел (наприклад, 86 дес. - 25 дес.);

9) випадки додавання виду 230+70, які ґрунтуються на правилі додавання числа до суми, наприклад, 230+70=(200+30)+70;

10) випадки віднімання виду 200-60, які своєю теоретичною базою мають правило віднімання числа від суми, наприклад, 200-60=(100+100)-60;

11) випадки додавання виду 380+590, які можуть ґрунтуватися або на правилі додавання суми до суми (наприклад, 380+590=(300+80)+(500+90)), або на правилі додавання числа до суми (наприклад, 380+590=(300+80)+590), або на правилі додавання суми до числа [наприклад, 380+590=380+(500+90)], або спираються на додавання двоцифрових іменованих чисел;

12) випадки віднімання виду 420-70, які ґрунтуються на правилі віднімання числа від суми (наприклад, 420-70=(300+120)-70) або на правилі віднімання суми від числа (наприклад, 420-70=420-(20+50);

13) випадки віднімання виду 650-290 і 600-270, які ґрунтуються на правилі віднімання суми від числа, наприклад, 650-290=650-(200+90) чи 650-290=600-(200+40).

Аналіз теоретичної основи вказаних прийомів обчислень дозволяє твердити, що одночасне вивчення випадків додавання і віднімання згруповане за спільністю обчислювальних прийомів, що створює сприятливі умови для використання прийому зіставлення і протиставлення обчислювальних прийомів та властивостей, на яких вони ґрунтуються.

Відповідні прийоми обчислень діти повинні були засвоїти ще при вивченні додавання і віднімання у межах ста, а тому вчитель відповідно до індивідуальних особливостей дітей має можливості для особистісно-орієнтованого вибору різних методичних підходів при введенні відповідних прийомів. Якщо діти здатні засвоювати прийоми обчислень лише на рівні зразків, то для них необхідно провести детальні пояснення і вимагати детальних міркувань при розв’язуванні прикладів. Так, наприклад, при поясненні прийому обчислень у випадках виду 700+200, 800-300 перед введенням прийому слід запропонувати виконати приклади: а) на перетворення круглих чисел у розрядні одиниці 50=5 дес., 600=6 сот.; б) на співвідношення між розрядними одиницями 1 дес.=10, 1 сот.=100; в) на додавання і віднімання чисел в межах ста 70+20, 80-30. Після цього пропонуємо знайти суму чисел 700 і 200. Запитуємо дітей: скільки сотень у числі 700? – 7. Скільки сотень у числі 200? – 2. Чи можете ви додати до семи сотень дві сотні? – буде дев’ять сотень. Скільки одиниць у дев’яти сотнях? – 900. Чому дорівнює сума чисел 700 і 200? – 900. Отже, 700+200=900. Після цього діти виконують аналогічні вправи, супроводжуючи їх поясненнями: 700 – це 7 сотень, а 200 – це 2 сотні. Якщо до семи сотень додати дві сотні, то буде дев’ять сотень. отже, 700+200=900. Введення прийому віднімання круглих чисел можна запропонувати учням знайти, розглядаючи приклад 800-300=8сот.-oсот. = oсот.

Для учнів, які можуть засвоювати матеріал на аналітико-синтетичному рівні, ознайомлення з відповідними прийомами обчислень потрібно проводити, залучаючи їх до відкриття таких прийомів. Так. наприклад, при введенні прийомів обчислень у випадках виду 420-70 слід повторити: 1) правило віднімання числа від суми і правило віднімання суми від числа; 2) розклад числа на суму розрядних доданків і на суму зручних доданків; 3) розв’язати приклади на віднімання виду 42-7, використавши при цьому два способи: 1) 42-7 = (40+2)-7 = (40-7)+2=33+2=35; 2) 42-7=42-(2+5)=(42-2)-5=40-5=35. Після проведеної роботи можна запропонувати дітям продовжити розв'язування прикладів: 420-70=(300+120)-70=300+(120-70) = 300 + o = ¢ і 420-70=420-(20+50)=(420-20)-o=¢. Коли діти виконають завдання, вчитель повинен допомогти їм усвідомити “відкриті” обчислювальні прийоми з допомогою бесіди. Для першого прикладу вона буде такою: як ми представили перший доданок? – у вигляді суми зручних доданків 300 і 120. Чому ми так робили? – бо від 120 віднімати 70 зручніше. Яке число ви поставили у квадрат? – 50. Що позначає це число? – різницю чисел 120 і 70. Чому дорівнює різниця чисел 420 і 70? – 350. Як ви її отримали? – додавши до числа 300 число 50.

Провівши аналогічну роботу з другим прийомом обчислень, вчитель зобов’язаний підсумувати проведене. Яке правило ми використовували при першому обчисленні? – правило віднімання числа від суми. Яке правило ми використовували при другому обчисленні? – правило віднімання суми від числа. Чи однакові результати ми отримали? – так. Чи повинен залежати кінцевий результат від способу обчислення при однакових даних? – ні. Який з розглянутих прийомів для вас найзручніший? – учні вправі вибрати будь-який, а тому вчитель не повинен наполягати на переважному використанні одного з них. Такий підхід до організації навчального процесу матиме особистісну зорієнтованість.

Для школярів, які здатні самостійно знаходити відповідні обчислювальні прийоми, слід використовувати проблемні запитання, самостійну роботу, знаходження різних способів обчислення значень виразів. Так, наприклад, вивчаючи прийом обчислень для випадків виду 650-290 і 600-270, роботу можна організувати так: знайдіть різні прийоми обчислень для прикладу 650-290. Якщо учні не зможуть цього зробити самостійно, то їм слід запропонувати допомогу: Спробуйте розкласти один з доданків на суму. Якщо і тоді школярі не зможуть знайти шлях розв’язання, то необхідно дати опорну схему 650-290=650-(o+¡)=..., або 650-290=(x+y)-£ =... Після того, як діти знайдуть прийоми обчислень, з ними можна провести бесіду, аналогічну до описаної у попередньому абзаці.

Спостереження за роботою вчителів, аналіз продуктів діяльності учнів початкових класів переконливо свідчать, що при успішному оволодінні алгоритмами письмового додавання і віднімання двоцифрових чисел вони не відчувають труднощів при їхньому використанні для трицифрових чисел. Помилки в обчисленнях, як правило, пояснюються не засвоєнням алгоритму, а недостатнім засвоєнням табличних випадків додавання і віднімання, засвоєнням співвідношень між розрядними числами. Саме з огляду на це, перед розглядом письмових прийомів додавання і віднімання трицифрових чисел корисно розглянути кілька прикладів на додавання і віднімання в стовпчик двоцифрових чисел, розв’язати приклади 12 дес.=1сот.2 дес., 5сот. 4 дес.=54 сот., 24 дес. - 5 дес., 5 сот. = ¥ дес. тощо.

Аналіз діючих підручників дає підстави для висновку про наступний порядок введення письмових прийомів обчислень: 1) письмове додавання і віднімання трицифрових чисел без переходу через розряд, наприклад, 325+432, 352-221; 2) випадки додавання і віднімання, коли у сумі або у зменшуваному чи від’ємнику є нулі, наприклад: 376+414, 225+384, 580-327, 807-423; 3) випадки додавання і віднімання з одним переходом через десяток, наприклад: 368+225, 674+163, 945-217, 676-394; 4) випадки додавання і віднімання з двома переходами через розряд, наприклад: 358+274, 325-146; 5) випадки додавання трьох і чотирьох доданків, один із яких є двоцифровим числом: 347+284+25, 300+127+258+23. Перед розгляданням таких випадків слід повторити правила записування доданків, щоб попередити можливі помилки. Випадки такого додавання будуть використовуватися при розгляді алгоритму письмового множення на трицифрове число. 6) випадки письмового додавання і віднімання виду 254-127+352. Розгляд таких вправ сприятиме формуванню у дітей уявлень про правило порядку виконання дій у виразах без дужок, коли є тільки дії одного ступеня. Отже, можна твердити, що порядок ведення письмових прийомів практично такий же самий, як і для двоцифрових чисел.

Засвоєння письмових прийомів додавання і віднімання трицифрових чисел має дуже велике значення, бо сприяє: а) закріпленню та остаточному відпрацюванню знання напам’ять табличних випадків додавання і віднімання; б) засвоєнню дітьми особливостей десяткової позиційної системи числення; в) є запорукою успішного оволодіння вмінням виконувати додавання і віднімання багатоцифрових чисел, а міркування, які доводиться застосовувати при письмових обчисленнях нерозривно пов’язані із практичним застосуванням знань про нумерацію чисел в межах тисячі. Корисно уміння проводити письмові обчислення довести до автоматизму, не забуваючи про те, що при перших помилках учень повинен звернутися до теоретичного матеріалу, на якому ґрунтуються відповідні прийоми обчислень, або до детальних пояснень. Разом з тим, не слід забувати, що оволодіння уміннями виконувати письмове додавання і віднімання вимагає особистісно-орієнтованого підходу на основі індивідуальних особливостей учнів класу. Оскільки ТМО формування алгоритмів письмового додавання і віднімання трицифрових чисел практично не відрізняються від тих, які ми розглядали у концентрі “Сотня”, то пропонуємо читачам виконати самостійно завдання №№ 13-14, підготувавши фрагменти уроків.

45. ТМО вивчення усних прийомів додавання і віднімання багатоцифрових чисел.

46. ТМО вивчення письмових прийомів додавання і віднімання чисел у концентрі “Багатоцифрові числа”.

На основі аналізу вимог державного освітнього стандарту, навчальної програми та методичних посібників для вчителів можна стверджувати, що основними завданнями ознайомлення учнів з алгоритмами письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел є: 1) вироблення міцних навичок письмових обчислень; 2) формування умінь використовувати взаємозв’язок дій додавання і віднімання для перевірки правильності обчислень; 3) формування умінь учнів переносити знання у нові умови; 4) формування уміння здійснювати самоконтроль за своєю діяльністю; 5) узагальнення та систематизації знань школярів про дії додавання і віднімання.

Який же порядок розгляду теми? – аналіз навчальної програми з математики для І-ІУ класів дає підстави твердити, що, по-перше, діти розглядають матеріал, пов’язаний з діями додавання і віднімання, законами додавання та їх застосуванням, по-друге, вивчається письмове додавання і віднімання та прийоми перевірки цих дій, по-третє, знаходяться значення виразів, що містять сумісні дії першого ступеня, по-четверте, школярів ознайомлюють з двома способами виконання додавання і віднімання складених іменованих чисел. Цілком природнім є те, що при вивченні цієї теми діти розв’язують текстові задачі.

У чому ж суть підготовчої роботи до вивчення письмових прийомів додавання і віднімання багатоцифрових чисел? – в актуалізації опорних знань учнів про додавання і віднімання трицифрових чисел. Отже, підготовчою роботою можна вважати, з одного боку, ознайомлення з письмовими прийомами обчислень у попередніх концентрах, а з другого – сформованість уміння переносити наявні знання у нові умови. Досвід роботи вчителів свідчить, що школярі, які у достатній мірі володіють вказаним умінням, не відчувають труднощів при письмовому додаванні і відніманні багатоцифрових чисел. Крім того, більшість учнів успішно справляється з переносом алгоритмів письмового додавання і віднімання на чотири-, п’яти- і шестицифрові числа. Спостереження за діяльністю учнів, аналіз продуктів їхньої діяльності дають підстави зробити висновок про причини труднощів, до яких відносяться: а) недостатнє знання таблиць додавання і віднімання; б) невміння оперувати сумою розрядних доданків у тому випадку, коли вона двоцифрове число.

Коли ж проводиться підготовча робота? – у попередніх концентрах і при вивченні нумерації багатоцифрових чисел. Разом з тим, вчитель не повинен забувати і про те, що перед введенням кожного наступного прийому обчислень слід провести підготовчу роботу саме до нього, актуалізувавши опорні знання. Так, перед кожним новим випадком додавання чи віднімання вчитель повинен розглянути 2-3 приклади з трицифровими числами. Вивчення досвіду роботи вчителів свідчить, що з метою усунення зайвих труднощів при переході від дій над трицифровими числами до дій над багатоцифровими з успіхом можна застосовувати наступний методичний прийом. Учням пропонуються для виконання вправи, кожна наступна з яких є частиною попередньою, наприклад: 257+732, 3257+6732, 83257+56732, 783-562, 5783-3562, 95783-83562 тощо. Виконання таких вправ підводить учнів до самостійного одержання висновку, який вони здатні сформулювати самі: письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел виконується так само, як і додавання та віднімання трицифрових чисел.

Яка ж система вправ використовується для формування прийомів письмового додавання і віднімання багатоцифрових чисел та які принципи її побудови? – випадки додавання і віднімання вводяться з наростанням труднощів завдяки збільшенню числа переходів через розрядну одиницю, включенню випадків віднімання, коли у зменшуваному містяться нулі, розгляду вправ на додавання кількох доданків, знаходженню значень виразів на сумісні дії першого ступеня та виразів, які містять дужки, виконанню завдань на перевірку результатів дії додавання за допомогою дії віднімання, виконанню дій над іменованими числами. Ознайомлюючись з кожним новим випадком, діти повинні давати детальні пояснення обчислень, а у міру засвоєння прийому – переходять до скорочених пояснень (Яких саме?).

Які ж випадки додавання і віднімання викликають у школярів труднощі? – випадки віднімання, коли зменшуване виражене розрядним числом, наприклад 10000 - 5757. Для подолання труднощів і з метою формування правильних навичок виконувати віднімання у цих випадках корисно, по-перше, усно виконати кілька підготовчих вправ виду 1 дес.-2од., 1 сот. - 6 дес., 1 тис.-8 сот. тощо; по-друге, проводити послідовне роздроблення одиниць вищого розряду в одиниці нижчого з використанням рахівниці. На рахівниці відкладаємо число 10000 як 9 дес. тис. 9 тис. 9 сот. 9 дес. і 10 од. Досвід роботи вчителів свідчить, що при розгляді таких випадків слід вимагати від учнів детальних пояснень, сутність яких ми покажемо на прикладі випадків, в яких послідовне роздроблення доводиться виконувати неодноразово.

Так, для прикладу 500200-5098 пояснення можуть бути такими: від нуля одиниць не можна відняти 8 од., а тому необхідно позичити 1 дес. і роздробити його в одиниці. Але десятків також немає, а тому потрібно позичити 1 сот. і роздробити її в десятки. 1 сот. містить 10 дес. Позичаємо 1 дес. і роздробимо його в одиниці. 1 дес. містить 10 од. (над розрядами, які позичали ставимо крапки, щоб не забути). Отже, від 10 од. віднімаємо 8 од., буде 2 од., які записуємо під одиницями. Тепер від 9 дес., що залишилися, віднімаємо 9 дес., буде 0 дес., які записуємо під десятками. Віднімаємо сотні. Від 1 сот., що залишилася, віднімаємо 0 сот., буде 1 сот., яку записуємо під сотнями. Тепер слід віднімати одиниці тисяч. Від 0 тис. не можна відняти 5 тис., а тому слід позичити у розряді десятків тисяч, які також відсутні. Позичаємо сотні тисяч. 1 сот. тис. містить 10 дес. тис., у яких позичаємо 1 дес. тис., що містить 10 тис. Від 10 тис. віднімаємо 5 тис., буде 5 тис., які записуємо під тисячами. У від’ємнику десятки і сотні тисяч відсутні, а тому у розряді десятків тисяч різниці записуємо 9 дес. тис. У від’ємнику відсутні сотні тисяч, а оскільки у зменшуваному залишилося 4 сот. тис., то їх і записуємо в розряді сотень тисяч різниці. Отже, 500200-5098=495102. У міру засвоєння учнями прийомів обчислень пояснення повинні скорочуватися, але при появі помилок слід звертатися до детального промовляння виконуваних дій (як саме можна скорочувати пояснення?! Щоб знайти відповідь на це запитання, продивися матеріал попередніх тем!).

Спостереження за роботою вчителів, аналіз методичної літератури дають підстави для висновку: для формування уміння проводити письмові обчислення слід використовувати: по-перше, завдання, в яких слід виконати перевірку розв’язання прикладів одним чи двома способами, що сприятиме формуванню уявлень про взаємозалежність і взаємозв’язок між результатом і компонентами арифметичних дій та між додаванням і відніманням; по-друге, вправи на додавання і віднімання складених іменованих чисел, які представлені в одиницях вимірювання величин.

Вивчення досвіду роботи вчителів дозволяє твердити, що дії над такими числами можна виконувати двома способами: 1) дані числа перетворюють у прості іменовані числа, а виконавши дії над одержаними числами, як над неіменованими, перетворюють їх при потребі знову у складені; 2) спочатку додають чи віднімають одиниці однакових найменувань, починаючи з нижчих розрядів, одночасно виконуючи необхідні перетворення. Хоча такий спосіб економний у записах, добре ілюструє аналогічність дій над іменованими та абстрактними числами, однак він викликає певні труднощі у школярів. Обидва прийоми показують дітям, щоб співставити прийоми обчислень, а потім учням слід надати право використовувати той, який для них простіший. З метою особистісної орієнтації навчального процесу для учнів, які претендують на 10-12 балів, необхідно вимагати оволодіння обома способами. Крім того, другим способом доведеться користуватися всім учням тоді, коли доведеться виконувати додавання і віднімання іменованих чисел, які знаходяться у недесяткових відношеннях, наприклад, у мірах часу.