Теоретические сведения. 1. Для построения математических моделей Операций применяют полный факторный эксперимент (ПФЭ)

1. Для построения математических моделей " Операций" применяют полный факторный эксперимент (ПФЭ). Ортогональность матрицы планирования ПФЭ позволяет получить раздельные оценки для коэф­фициентов в уравнении регрессии.

2. ПФЭ называется эксперимент, реализующийвсе возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых переменных Х₁, Х₂, …, Х_n, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях.

3. Математическая модель ищется в виде неполного квадратичного уравнения регрессии взаимосвязи показателя качества " Операции" y от управляемых параметров. Например, для трех факторов это уравнение вида

y= b₀ + + + b₁₂₃x₁ x₂ x₃ (3.1)

или с учетом линеаризации путем замены переменныхэто

y= (3.2)

где

x_i = (1£ i £ n) (3.3)

- нулевой уровень варьирования i -ой переменной;

D_i - интервал варьирования i -ой переменной.

4. Матрицу планирования ПФЭ и результаты опытов представляют в виде таблицы 6. Например для ПФЭ типа2³ ,

Таблица 6

	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7
x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y1		ym
y1		ym
	+	-	-	-	+	+	+	-	y11		y1m
	+	+	-	-	-	-	+	+	y21		y2m
	+	+	-	-	+	-	+	-	-		-
	+	+	+	-	+	-	-	-	-		-
	+	+	+	+	-	-	+	-	-		-
	+	+	-	+	-	+	-	-	-		-
	+	-	+	+	-	+	-	-	-		-
	+	+	+	+	+	+	+	+	y81		y8m

где

x₀ – “фиктивная” переменная;

x_i – кодированные по формуле (3.3) значения переменных;

z₀ – новые переменные (после линеаризации);

y₁, у₂, …, y_m - m параллельных наблюдений показателя качества у для каждого опыта.

“+”; ”–” – кодированная запись +1 и –1 соответственно.

5. Так как изменение показателя качества у носит случайный характер, то в каждой точке (1 £ i £ N = 2ⁿ) надо проводить m параллельных опытов и результаты наблюдений , , …, (см. последние столбца таблицы 6) усреднить

= , 1£ i £ N (3.4)

6. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать варианты проведения эксперимента, т.е. последователь­ность реализации опытов матрицы проводить случайно.

7. Проверка воспроизводимости заключается в проверке одно­родности выборочных дисперсий, т.е. в проварке гипотезы

H₀: s²{y₁} = s²{y₂} = … = s²{y_N};

при экспериментах соответственно в точках , , …, .

Для этих целей используется критерий Кохрена

G_P = (3.5)

с числами степеней свободы для числителя n₁ =m - 1и знаменателя n₂ = N.

Если вычисленное значение критерия G_P окажется меньше зна­чения G_кр, найденного по статистической таблице для выбранного уровня значимости q, то Н₀ принимается.

Тогда оценка дисперсии воспроизводимости будет равна

{y} = (3.6)

Оценки дисперсий {y_i} длявсех i ищутся по формуле

{y_i} = (3.7)

8. Независимые оценки коэффициентов в уравнении регрессии (2.2) ищутся по формуле

= , (g = 0, 1, …, n). (3.8)

9. Значимость коэффициентов регрессии b_i проверяется с помощью t – критерия Стьюдента, который в этом случае преобразует­ся к виду

= , (q = 0, 1, …, n) (3.9)

где

= , (для всех i) (3.10)

- дисперсия ошибки определения коэффициентов регрессии.

Если вычисленное значение превышает значение t_кр, определенное по таблице приложения для числа степеней свободы n = N´ (m - 1) при заданном уровне значимостиq, то коэффи­циент b_i признается значимым. В противном случае b_i = 0.

10. Проверка адекватности полученной модели проводится по F - критерию Фишера:

F_P = , (3.11)

где

= (3.12)

d - число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Если вычисленное значениеF_P критерия меньше F_кр найденного по статистической таблице для соответствующих степеней свобода n₁ = N - d и n₂ = N(m - 1) при заданном уровне значимости q, то гипотеза об адекватности принимается. Полученная модель признает­ся годной для дальнейших исследований.

Проверка адекватности возможна только при n₁ > 0, Если n₁ = 0, то адекватность проверить нельзя.