Расчет трансформатора

Основной задачей расчета трансформатора является определение оптимальных массогабаритных и энергетических характеристик при выполнении заданных требований к его параметрам. Критериями расчета являются: температура нагрева обмоток, падение напряжения на обмотках, коэффициент полезного действия трансформатора и ток холостого хода.

Исходными данными при расчете трансформатора являются:

- напряжение питающей электросети ;

- напряжение вторичных обмоток и ;

- токи вторичных обмоток, работающих в течение двух полупериодов или одного полупериода ;

- частота тока питающей сети .

Расчет мощности вторичных обмоток трансформатора

В соответствии с назначением трансформатора нужно составить его электрическую схему. В схеме трансформатора необходимо разделить обмотки на обычные и имеющие вывод средней точки, т.е. работающие в течение одного полупериода.

Рис. 2.1 – Электрическая схема силового трансформатора

малой мощности

На основании схемы однофазного трансформатора и значений выходных напряжений и токов определяется максимальное значение габаритной мощности вторичных обмоток:

здесь: , - действующие значения напряжений (В) и токов (А) в отдельных вторичных обмотках; k=1, 2, …, К; , - действующие значения напряжений и токов в обмотках (вторичных) с выводом средней точки, l=1, 2, …, L.

Определение расчетной мощности трансформатора

В общем случае мощность вторичных обмоток может отличаться от мощности первичных. Поэтому в качестве расчетной мощности трансформатора принимается полусумма электромагнитных мощностей первичной и вторичной обмоток трансформатора.

Для определения расчетной мощности трансформатора необходимо знать или найти приближенное значение коэффициента полезного действия η (рис. 2.2, а). Ориентировочное значение коэффициента полезного действия, которое возрастает с увеличением мощности трансформатора, можно приближенно найти из следующего соотношения:

Здесь: - частота питающей сети, < 5000 Гц; Р₂₁, Р₂₂, …, Р_2m – мощность вторичных обмоток трансформатора, ВА.

В трансформаторе двухобмоточного типа с отдельной первичной и раздельными вторичными обмотками при работе на чисто активную нагрузку расчетная мощность равна:

Расчетную мощность трансформатора для схем аналогичным схеме на рис. 2.1а (обмотки w3.1 и w3.2 работают в течение одного полупериода) можно найти из соотношения:

Выбор конструкции трансформатора

Наиболее распространенные типы конструкций трансформатора приведены в таблице 2.1 (броневая, стержневая или тороидальная конфигурации). В таблицах указаны марки материала магнитопровода и толщина ленты, которые в значительной мере определяют свойства трансформатора. Основными факторами, определяющими конструкцию, являются назначение трансформатора и требования к нему, частота электросети или частота преобразования, а также расчетная мощность трансформатора. Конструктивное исполнение трансформатора малой мощности может быть открытым, защищенным или закрытым.

Для низкочастотных трансформаторов наиболее приемлемы металлические магнитные материалы, которые обладают наивысшими значениями магнитной индукции насыщения, магнитной проницаемостью и температурной стабильностью. Такие материалы имеют низкое удельное сопротивление, что приводит к резкому возрастанию вихревых токов и снижению параметров при повышении частот. Магнитопроводы (сердечники) низкочастотных трансформаторов изготавливаются из изолированных пластин или навиваются из ленты.

При напряжениях, не превышающих 1кВ, и частоте сети 50 Гц для трансформаторов малой мощности (30 ВА) следует отдать предпочтение броневым трансформаторам. Лишь незначительно уступая стержневым трансформаторам по объему и массе, броневые трансформаторы, имеющие одну катушку, значительно технологичнее в изготовлении и проще по конструкции. При мощностях от нескольких десятков до нескольких сотен вольт-ампер при частоте 50 Гц наиболее предпочтительными являются стержневые трансформаторы.

Таблица 2.1 - Основные типы конструкций ленточных сердечников

Таблица 2.2 Электромагнитные свойства электротехнических сталей

Толщина ленты , мм	Марка стали	Магнитные удельные потери , Вт/кг, не более	Магнитная индукция , Тл, не менее, при напряженности
0, 5		2, 45	-	-	-	1, 75
	2, 10	-	-	-	1, 80
	1, 75	-	-	-	1, 85
	1, 50	-	-	-	1, 88
0, 35		1, 75	-	-	-	1, 75
	1, 50	-	-	-	1, 80
	1, 30	1, 90	-	1, 58	1, 85
	1, 10	1, 60	-	1, 60	1, 88
	1, 03	1, 50	-	1, 61	1, 90
	-	1, 60	-	1, 60	-
	-	1, 50	-	1, 61	-
	-	1, 43	-	1, 62	-
	-	1, 36	-	1, 68	-
	-	1, 30	-	1, 71	-
0, 27		1, 03	-	-	1, 60	1, 85
	-	1, 36	-	1, 61	-
	-	1, 27	-	1, 62	-
	-	1, 20	-	1, 68	-
	-	1, 14	-	1, 71	-
0, 20		1, 50	2, 20	0, 85	-	1, 70
0, 15		-	-	-	-	-
	-	-	-	-	-
	-	-	-	-	-

Таблица 2.3 - Зависимость коэффициента k_с заполнения сечения магнитопровода сталью от толщины ленты

Толщина ленты , мм	0, 5	0, 35	0, 15	0, 1-0, 08	0, 05	0, 02
Коэффициент заполнения сталью kс	0, 96	0, 93	0, 9	0, 85	0, 75-0, 8	0, 65-0, 7

Рис.2.2 – а) зависимость коэффициента полезного действия трансформатора от выходной мощности: 1 – для броневых и стержневых трансформаторов с магнитопроводом из стали 3411, 3412 толщиной ленты δ =0, 35 мм, частотой напряжения f=50 Гц; б) зависимость плотности тока j=f(P_рас) в обмотках от выходной мощности трансформатора: 1 - для броневых и стержневых трансформаторов с магнитопроводом из стали 3411, 3412 толщиной ленты δ =0, 35 мм, частотой напряжения f=50 Гц

Рис. 2.3. а) зависимость коэффициента заполнения окна к_о= f(P_рас) от выходной мощности трансформатора: 1 – для трансформаторов с броневым и стержневым сердечником с напряжением до 100 В, 50 Гц; 2 – для тех же трансформаторов с напряжением до 300 В, 50 Гц; б) зависимость магнитной индукции В= f(P_рас) в магнитопроводе от выходной мощности трансформатора при перегреве сердечника ∆ Т_пер=50°С: 1 – для броневых и стержневых трансформаторов с магнитопроводом из стали 3412,

частотой напряжения 50 Гц.

Определение расчетного габаритного параметра трансформатора

Для выбранной конструкции трансформатора (и материала сердечника) необходимо выбрать справочные параметры, которые указываются производителем (приложение 1).

Типоразмер магнитопровода (размеры сердечника) определяется мощностью трансформатора и находится с помощью формулы:

здесь: , - сечение соответственно сердечника и окна магнитопровода, см⁴; Р_рас – расчетная мощность трансформатора, ВА; - максимальное значение индукции в сердечнике, Тл; j – плотность тока в проводах обмоток, А/мм²; - коэффициент заполнения сталью сердечника; - коэффициент заполнения окна проводом обмоток; - коэффициент формы, который для синусоидального напряжения равен 1, 1.

Максимальное значение индукции в сердечнике рекомендуется выбирать в соответствии с кривыми, изображенными на рис. 2.3б, либо на основе данных, рекомендуемых производителем сердечника, который планируется использовать.

Рис. 2.4. Зависимость относительного падения напряжения U∆ =∆ U/U= f(P_рас), В на выходе, соответствующее изменению тока от нуля до номинального для трансформаторов: 1 – стержневых ленточных из стали 3412, δ =0, 35 мм, f =50 Гц.

Выбор типоразмера магнитопровода

На основе полученного значения выбираем типоразмер магнитопровода и уточняем (выписываем) его конструктивные данные: , , , среднюю длину магнитной силовой линии , массу , площадь окна магнитопровода , удельные потери (приложение 1).

Расчет количества витков трансформатора

Электрический расчет параметров трансформатора производится на основе параметров выбранного сердечника. Основным соотношением для определения числа витков в обмотках трансформатора можно использовать формулу для расчета числа витков на один Вольт:

Здесь значение не должно превышать значение, установленное для расчетов с помощью графика рис. 2.3б. Более точно число витков первичной (w₁₁) и вторичных (w_2k, w_3l) обмоток (полуобмоток) определяется с учетом относительного падения напряжения UΔ =Δ U/U на обмотках:

Здесь U₁₁, U_2k, U_3l – напряжение соответственно первичной и вторичных обмоток, В; UΔ – относительное падение напряжения (ориентировочное значение) в обмотках, В; S_C – сечение магнитопровода, см²; f – частота, Гц; - максимальное значение индукции в сердечнике, Тл; k_С – коэффициент заполнения сталью сердечника; k_O – коэффициент заполнения окна проводом обмоток; k_Ф – коэффициент формы.

Таблица 2.4 – Рекомендуемые расчетные значения коэффициента полезного действия η _ном, % и относительного падения напряжения на обмотках UΔ, % на обмотках низкочастотных трансформаторов малой мощности

Оценка потерь энергии в магнитопроводе

Определяем потери Р_С в магнитопроводе:

, Вт,

где - масса магнитопровода в кг; - удельные потери в магнитопроводе (массой 1 кг), Вт/кг.

Приближенное значение удельных потерь в магнитопроводе можно найти с помощью графиков на рис. 2.5 (либо воспользоваться данными табл. 2.2)

Рис. 2.5. Зависимость удельной мощности Р_уд потерь в сердечниках от максимальной индукции Вm: 1 – из стали 3413, δ =0, 35 мм, f =50 Гц; 2 – из стали 3412, δ =0, 35 мм, f =50 Гц; 3 - из стали 3412, δ =0, 5 мм, f =50 Гц.

Расчет действующего значения тока холостого хода первичной обмотки трансформатора

Определяем значение тока холостого хода трансформатора, для этого находим его активную составляющую:

где Р_С – потери в стали, Вт; U₁₁ – напряжение первичной обмотки трансформатора (действующее значение), В; UΔ – относительное падение напряжения, %.

Реактивная составляющая тока холостого хода трансформатора может быть подсчитана по формуле:

где H_m – эффективное значение напряженности магнитного поля, А/м, соответствующее максимальному значению индукции B_m в сердечнике (выбирается приближенно по рис. 2.6 или кривой намагничивания выбранного материала); l_С – средняя длина магнитной силовой линии, см; n_з – число зазоров (для броневого и стержневого трансформатора n_з =2, для тороидального n_з =0); l_з – длина немагнитного зазора, обусловленного неидеальностью сопряжения поверхностей половинок разъемного магнитопровода, приблизительно l_з=0, 002 см; w₁₁ – число витков первичной обмотки.

Действующее значение тока холостого хода первичной обмотки равно:

Рис. 2.6. Зависимость индукции в сердечнике от напряженности поля:

1 - для стали 3412; 2 – для стали 3423.

Расчет действующих значений токов обмоток трансформатора и выбор марки проводов

Действующее значение тока первичной обмотки (полуобмотки) трансформатора находится как сумма составляющих, в том числе тока холостого хода:

где: р=2 для первичной обмотки с выводом нулевой точки, р=1 – без вывода первичной обмотки трансформатора; l=1, 2, …L – количество вторичных обмоток с выводом средней точки; k=1, 2, …K – количество вторичных обмоток без выводов; w_2k, w_3l, w₁₁ – число витков обмоток.

Для определения поперечного сечения проводов необходимо задаться плотностью тока в соответствии с рекомендациями, приведенными на рис. 2.2 б для максимального перегрева Δ Т_пер=50°С. Заметим, что плотность тока в обмотках в значительной мере влияет на температуру нагрева трансформатора и должна быть одинаковой, либо выбрана с учетом укладки и охлаждения той или иной обмотки. Площадь поперечного сечения q проводов равна:

где j – плотность тока, А/мм².

Наибольшее применение находят медные провода круглого и прямоугольного сечения с эмалевой изоляцией, имеющие малую толщину изоляции и высокую электрическую прочность. Выбор марки провода осуществляется прежде всего исходя из допустимой рабочей температуры провода (Т_раб), амплитудного значения рабочего напряжения обмоток и силы тока в обмотках.

При напряжении обмоток до 500 В и токах до нескольких ампер рекомендуется применять провода марки ПЭВ-1 (Т_раб=105°С), ПЭТВ (130°С), ПСД (155°С) и ПСДК (180°С). При больших токах (более 5 А) следует применять провода прямоугольного сечения (например, марок ПЭВП, ПБД при Т_раб=105°С или ПСД, ПСДК при 155°С). При более высоких рабочих напряжениях рекомендуется применять провода марок ПЭВ-2 и ПЭВТЛ-2.

Рассчитав поперечное сечение проводов q_i всех обмоток (полуобмоток) и выбрав марку провода (по значению поперечного сечения) находим справочные данные: диаметр проводов с изоляцией d_i и без нее , а также массу g_i одного метра провода (приложение 2). Затем вычисляем действительную плотность тока j в каждой обмотке и ее среднее значение j_ср для трансформатора:

Расчет конструкции трансформатора

Конструктивный расчет трансформатора включает расчет размещения обмоток (с учетом изоляционных прокладок) в конструкции, массу трансформатора и потери энергии.

Геометрические размеры и электрические параметры каждой из обмоток определяется не только числом витков, диаметром проводников и рабочим напряжением обмотки, но и местом расположения ее в окне магнитопровода. Поэтому конструктивный расчет трансформатора должен начинаться с согласования плана размещения обмоток в окне магнитопровода с указанием числа витков и диаметра провода с изоляцией для каждой из обмоток.

Рис. 2.7. Конструкция обмотки броневого трансформатора

с ленточным магнитопроводом

Обмотки броневых и стержневых трансформаторов выполняются в виде катушек каркасной или бескаркасной намотки. В обоих случаях используется, как правило, рядовая многослойная намотка обмоток по всей высоте окна магнитопровода. Каркас отличается от гильзы наличием боковых щек, имеющих обычно толщину, равную толщине гильзы: δ _Г=δ _Щ. Толщина гильзы (каркаса) обычно составляет 1…3 мм. Зазор между гильзой и магнитопроводом δ _З должен быть в пределах 0, 5…1 мм.

Высота h_об11 одного слоя обмотки равна:

где - зазор между гильзой или между каркасом катушки обмотки и сердечником, мм; δ _Г=δ _Щ – толщина стенки каркаса катушки, мм; h – высота окна, мм.

Количество витков в слое обмотки определяется с учетом плотности намотки (с помощью коэффициента укладки k_У) и округлением до ближайшего меньшего числа:

где d₁₁, d_2i – диаметр провода с изоляцией соответственно первого слоя первичной обмотки и i-го слоя вторичной обмотки, мм; k_У, k_У2i – коэффициенты укладки обмоток.

Таблица 2.5 – Рекомендуемые расчетные значения коэффициента укладки провода в слое обмотки

Число слоев в каждой обмотке равно:

где m₁ – число катушек, в трансформаторе броневого типа m₁=1, стержневого m₁=2; р=1 для обмотки в два провода с выводом средней точки или без вывода, р=1 в противном случае.

Выбрав изоляцию обмоток в зависимости от их рабочего напряжения и диаметр проводов, производится расчет размеров обмоток. Толщина (сечение) первичной обмотки и вторичных обмоток с коэффициентом неплотности намотки, равным 1, 2:

В результате общий радиальный размер всех обмоток катушки будет составлять величину:

где - толщина прокладки между обмотками катушки, мм; р=1 для обмотки в два провода с выводом средней точки или без вывода, р=1 в противном случае.

Средняя длина обмотки трансформатора кроме прочего определяется ее положением на катушке, т.е. величиной условного радиуса r_ср закругления витка, который находится как:

- для первичной обмотки;

- для i-ой вторичной обмотки.

Отсюда средняя длина витка обмотки трансформатора может быть найдена с помощью соотношения:

где а и b – размеры стержня магнитопровода в мм; r_ср – условный радиус закругления витка, мм.

Активное сопротивление i-ой обмотки при максимальной температуре окружающей среды равно:

где k_t= 1+0, 004(T_C+Δ T-20) – температурный коэффициент удельного сопротивления материала проводников; Т_С – максимальная температура окружающей среды, °С; Δ Т=50 °С – максимальная температура перегрева обмоток, °С; k_f – коэффициент увеличения сопротивления провода в зависимости от частоты преобразования напряжения, на частотах меньших 10 кГц, k_f=1.

Потери в меди первичной, i-ой вторичной обмотки можно определить с помощью выражений:

Суммарные потери в меди будут равны:

Коэффициент полезного действия трансформатора:

где - суммарная активная мощность в нагрузке, Вт.