Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Ысқаша мазмұны. 1.Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:
1. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал тең деудің жалпы тү рі былай жазылады: (1) Мұ ндағ ы - белгісіз функция, - тә уелсіз айнымалылар. - кейбір облысында екі рет ү здіксіз дифференциалданатын функция болсын. Анық тама. Кейбір облысында анық талғ ан ү здіксіз дифференциалданатын функциясы (1) тең деудің шешімі деп аталады, егер ол тө мендегідей шарттарды қ анағ аттандырса: 1) 2) Бұ л функциясы - кең істігінде кейбір бетті анық тайды. Осы бетті берілген тең деудің интегралдық беті деп атайды. Бірінші ретті дербес туындылы тең деулерді интегралдау ә детте жә й дифференциал тең деулер жү йесін интегралдауғ а келтіріледі. Сондық тан, мұ ндай тең деулер жә й дифференциал тең деулер бағ дарламасына енгізілген. Біз бұ л жерде бірінші ретті дербес туындылы тең деулердің тек екі сызық ты тү рін ғ ана қ арастырамыз.
2. Алдымен, біртекті сызық ты тең деуді қ арастырайық: (2) Мұ ндағ ы, - функциялары кейбір облысында ү здіксіз дифференциалданатын жә не бә рі бірдей нө лге айналмайтын функциялар деп есептелінеді. Бұ л (2) тең деуге тө мендегідей жә й дифференциал тең деулердің симметриялық тү рі сә йкес қ ойылады. (3) Осы жү йені (2) тең деудің сипаттаушы жү йесі деп атайды. Оның интегралдық қ исық тары (2) тең деудің сипаттауыштары (характеристикалары) деп аталады. Бұ л жү йенің барлық уақ ытта шешімдері бар жә не ол жалғ ыз. Сондық тан, облысының ә рбір нү ктесі арқ ылы тек бір ғ ана сипаттауыш ө теді жә не олардың ғ тә уелсіздерінің саны - ге тең, себебі, ол - ретті қ алыпты жү йеге эквивалент. Теорема-1. облысында анық талғ ан ү здіксіз дифференциалданатын функциясы (2) тең деудің шешімі болуы ү шін оның (3) жү йенің интегралы болуы қ ажетті жә не жеткілікті. Дә лелдеуі. 1) қ ажеттілігі. Айталық, функциясы (2) тең деудің шешімі болсын: (4) Бұ л функцияның толық дифференциалы былай жазылады: (5) Осындағ ы ә рбір -дің орнына оғ ан пропорционал функциясын қ ойсақ, тө мендегідей қ атынас аламыз: (6) Мұ ндағ ы, - пропорция коэффициенті. Алдың ғ ы (4) тепе-тең дікті ескерсек, квадрат жақ шаның ішіндегі ө рнек нө лге тепе-тең болады, яғ ни (7) Ал бұ л тепе-тең дік функциясының (3) жү йенің интегралы болатынын білдіреді. 2) жеткіліктілігі. Айталық, функциясы (3) жү йенің интегралы болсын: (8) Соң ғ ы тепе-тең дік функциясының (2) тең деудің шешімі екенін кө рсетеді. Теорема-2. Берілген (2) тең деудің жалпы шешімі (9) тү рінде анық талады. Мұ ндағ ы, - кез келген ү здіксіз дифференциалданатын функция, ал - (3) жү йенің тә уелсіз интегралдары. Дә лелдеуі. Айталық, кейбір функциясы (2) тең деудің облысындағ ы кез келген шешімі болсын. Бұ л шешім функцияларымен қ оса (2) тең деуді тепе-тең дікке айналдырады: (10) Бұ л біртекті сызық ты жү йенің нө лдік емес шешімі бар. Сондық тан, бұ л жү йенің анық тауышы нө лге тең. Ол функцияларының якобианына тең. (11) Соң ғ ы қ атынас функцияларының ө зара тә уелділігін кө рсетеді. Олардың алдың ғ ы функциялары ө зара тә уелсіз функциялар еді. Сондық тан тә уелділікті соң ғ ы функциясы беріп тұ р: (12) Мұ ндағ ы, - кез келген шешім боғ андық тан, (12) қ атынас жалпы шешімді береді.
3. Біртексіз сызық ты тең деуді қ арастырайық: (13) Мұ ндағ ы, - функциялары кейбір облысында ү здіксіз дифференциалданатын жә не бә рі бірдей нө лге тең емес деп есептелінеді: Бұ л тең деуді біртекті сызық ты тү рге келтіру арқ ылы интегралдайды. Ол ү шін шешімді айқ ындалмағ ан функция тү рінде іздейді: (14) Мұ ндағ ы, - функциясын облысында ү здіксіз дифференциалданатын жә не деп аламыз. Осы қ атынасты кез келген бойынша дифференциалдайық: Осыдан (15) (15) ө рнекті (13) тең деуге қ ойып, оны бө лшегіне кө бейтсек, (16) тең деуін аламыз. Бұ л бойынша біртекті сызық ты тең деу. Сондық тан, алдың ғ ы пунктте кө рсетілген тә сілді қ олданамыз. Бұ л тең деудің сә йкес сипаттаушы жү йесі (17) тү рінде жазылады. Бұ л жү йенің ө зара тә уелсіз интегралдары - ге тең: Бұ л жағ дайда (13) тең деудің жалпы шешімі (18) тү рінде жазылады. Шешімді анық талмағ ан тү рде іздеп отырғ анымызды ескерсек, (19) қ атынасын аламыз. Осындағ ы -ды арқ ылы ө рнектеуге мү мкін болса, ол функция (13) тең деудің шешімі болады. Бұ л жерде арнайы шешімдер де болуы мү мкін. Ондай шешімдер сол уақ ытта пайда болады, егер (14) тепе-тең дік тек болғ анда ғ ана орындалса.
4. Біртекті жә не біртексіз сызық ты тең деулер ү шін Коши есебі былай қ ойылады: тең деудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі тұ рақ талғ ан жағ дайда белгілі бір - ө лшемді бетке айналатын дербес шешімді анық тау керек, яғ ни шешімінің болғ анда белгілі функциясына тең болатын шешімді табу керек. Мұ ны қ ысқ аша (20) тү рінде жазады. Мысалы, екі ө лшемді дербес туындылы тең деуі ү шін Коши есебі былай қ ойылады: шешімінің болғ анда шартын қ анағ аттандыратын шешімді іздеу. Ол барлық интегралдық беттердің ішінен қ исығ ы арқ ылы ө тетін бетті табу болып есептелінеді. Жалпы жағ дайда Коши есебінің шешімін табу қ иындық тудырмайды.
|