Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Екінші ретті сызықты жүйенің траекториялары
6.1. Тұ рақ ты нақ ты коэффициентті біртекті сызық ты жү йені қ арастырайық: (1) Бұ л жү йенің нө лдік шешімі барлық уақ ытта бар. Осы шешімге сә йкес нү ктесі жү йенің тең бе-тең дік қ алпы немесе тыныштық нү ктесі деп аталынады. Жү йенің нө лдік емес шешімдерінің фазалық траекторияларының кескіндерін анық тайық. Олар матрицасының меншікті сандарына байланысты. Айталық, - сандары матрицасының меншікті сандары болсын, яғ ни олар сипаттаушы тең деуінің тү бірлері болсын. Тө мендегідей жағ дайларды қ арастырайық. - нақ ты ә ртү рлі сандар. Жү йенің жалпы шешімі (3) тү рінде жазылады. Мұ ндағ ы, жә не меншікті векторлар, - тұ рақ ты сандар. Жалпы шешімнің , базисындағ ы координаттарын - деп белгілейік: (4) Траекториялардың кескінін жә не бағ ытын байқ ау ү шін болатын бірінші квадрантты қ арастырсақ, жеткілікті. Сә йкес тө мендегідей ү ш жағ дайды қ арастырайық: а) болсын. Бұ л жағ дайда болса, онда тыныштық нү ктесін аламыз. Егер болса, онда осі фазалық траектория, ал болса, онда осі фазалық траектория болады. болғ анда егер , яғ ни фазалық траектория тыныштық нү ктесіне ұ мтылады жә не Соң ғ ы қ атынас траекторияның осін координаттың бастапқ ы нү ктесінде жанай ө тетінін кө рсетеді. Егер болса, онда Бұ л қ атынастан траекторияның осін жанап ө тетінін кө реміз. Жалпы, траекторияның тең деуін былай жазуғ а болады: (5) Ол ү шін (4) қ атынастың біріншісін дә режеге, екіншісін дә режеге кө теріп, тең естірсек, жеткілікті. (5) қ атынастан траекторияның парабола екенін кө реміз. Бұ л парабола бойымен қ озғ алыс координат жү йесінің басы нү ктесіне қ арай бағ ытталғ ан. Мұ ндай жағ дайда нү ктесі орнық ты «тү йін» деп аталады (1 – суретті қ араң ыз). б) болсын. Бұ л жағ дайда фазалық траекторияның тү рі алдың ғ ы тү рдей болады, тек қ озғ алыс кері бағ ытта болады. Сондық тан, координат жү йесінің бас нү ктесі орнық сыз «тү йін» деп аталады (2 – суретті қ араң ыз). в) болсын. Бұ л жағ дайда, егер болса, онда егер , ал болса, онда егер . болса, онда егер . Сондық тан, фазалық траекторияның тү рі гипербола болады да, координат жү йесінің бас нү ктесі «ершік» деп аталады. Ал сол координат жү йесінің осьтері ершіктің «мұ рттары» деп аталады (3, 4 – суреттерді қ араң ыз). (Егер болса, онда траектория келбеті алдың ғ ыдай болады). - комплексті тү йіндес тү бірлер. Бұ л жағ дайда жалпы шешім былай жазылады: (6) Егер - деп алсақ, онда (6) тең діктен (7) тең діктері шығ ады. Тө мендегідей екі жағ дайды қ арастырайық. а) болса, онда . Осыдан (8) қ атынастарын аламыз. Мұ ндағ ы, . (8) қ атынастарды квадраттап қ осатын болсақ, шең берлер жиынын аламыз. Бұ л жағ дайда координат жү йесінің бас нү ктесі «центр» деп аталады. Бұ л шең бер (немесе эллипс) бойымен қ озғ алыс бағ ыты -ның таң басымен анық талады (5 – суретті қ араң ыз). б) . Бұ л жағ дайда траекторияның тең деуі тө мендегідей: (9) Оның графигі спираль болып келеді. Мұ нда егер болса, онда , ал болса, онда егер . Сондық тан, координат жү йесінің бас нү ктесі бірінші жағ дайда орнық сыз «фокус», екінші жағ дайда орнық ты «фокус» деп аталады (6, 7 – суреттерді қ араң ыз). Ескерту. Меншікті сандардың ө зара тең жә не нө лге тең болатын жағ дайларын қ арастырмадық. Олар туралы [6] оқ у қ ұ ралын қ араң ыз.
1 – сурет 2 – сурет
3 – сурет 4 – сурет
5 – сурет
6 – сурет 7 – сурет
|