Дискриминант бойынша

Алгебраның негізгі теоремасына сү йенсек, кубтық тең деудің ә рқ ашанда 3 тү бірі болуы тиіс.

Ә р нақ ты тақ дә режелі кө пмү ше бір ғ ана болсада нақ ты тү бірі болуы қ ажет. Кубтық тең деудің барлық тү бірлерінің қ ұ рамын келесі ү ш жағ дай кө рсетеді. Бұ л жағ дайлардискриминант арқ ылы оң ай ажыратылады.

· Егер Δ > 0 болса, онда тең деудің ү ш ә р тү рлі тү бірі болады.

· Егер Δ < 0 болса, онда тең деудің бір нақ ты жә не екі комплексті тү йіндес тү бірі болады.

· Егер Δ = 0 болса, онда тең деудің екі тү бірі болсын сә йкес келеді.

Виет теоремасы бойынша[ө ң деу]

Виет теоремасы бойынша кубтық тең деудің тү бірлері коэффициенттерімен келесі арақ атынаста болады^[1]:

Кө рсетілген тепе-тең діктерді бір-біріне бө лідің нә тижесінде тағ ыда басқ а арақ атынастар табуғ а болады:

Тө ртінші дә режелі тең деу[ө ң деу]

тү ріндегі тө ртінші дә режелі қ айтымды тең деуді алайық, мұ нда a, b жә не c — кез келген сандар, сондай-ақ .

Осындай тең деулерді шешу алгоритмі:

· тең деудің оң жағ ын да, сол жағ ын да бө лу. болғ ан жағ дайда x = 0 бұ л тең деудің тү бірі бола алмайды;

· топтастыру арқ ылы тең деуді келесі тү рге келтіру: ;

· жаң а айнымалы ең гізу , онда тең дігі орындалады, яғ ни, ;

· Айнымалы ең гізу арқ ылы алғ ан тең деу квадрат тең деу болып саналады: ;

· тең деуді шешіп, бастапқ ы айнымалыны есептеу.

Модификациялынғ ан жә не жалпыланғ ан тө ртінші дә режелі тең деу[ө ң деу]

модификациялынғ ан қ айтымды тө ртінші дә режелі тең деуді айнымалысына қ атысты деген ең гізу жү ргізу арқ ылы квадрат тең деуге келтіріп алуғ а болады.

Жалпыланғ ан тө ртінші дә режелі тең деуді деген алмастыру жү ргізу арқ ылы квадрат тең деуге келтіріп алуғ а болады. Барлық тө ртінші дә режелі тең деулердің ішінде бұ л тең деулер клесі коэффициенттік қ атынаспен ерекшеленеді:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сызық тық емес тең деулер Егер тең деулер қ ұ рамының біреуі сызық тық емес тең деу болса, онда екі айнымалысы бар тең деулер жү йесі екі айнымалысы бар сызық тық емес тең деулер жү йесі деп аталады. Мысалы: жү йедегі бірінші тең деудің графигі тү зу сызық екені белгілі, ал екінші тең деу графигін білмейміз. Мұ ндай жү йелерді шешудің негізгі жолы – ауыстыру тә сілі. Шешу алгоритмі:

1)бірінші дә режелі тең деуден айнымалының бірін екіншісі арқ ылы ө рнектеп жазу;

2)табылғ ан ө рнекті екінші дә режелі тең деудегі айнымалының орнына қ ойып бір айнымалысы бар тең деу аламыз;

3)шық қ ан тең деуді шешкенде айнымалылардың біреуінің мә ндері табылады; 4)Осы мә ндер арқ ылы екінші айнымалының мә ні табылады.

Егер айнымалылардың біреуінің коэффициенттері қ арама-қ арсы сандар болса мү шелеп қ осу тә сілін қ олданамыз.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§6. Параметрі бар тригонометриялық тең деулер.
1мысал. тең деуінде, параметрінің барлық мә нін табу керек.

Бірінші қ осылғ ышты мына

тү рге келтіріп, ал екінші қ осылғ ышты , айнымалысын енгізіп тең деуді мына тү рде жазып аламыз

Оның тү бірі болады, егер

Солайша -ның кез келген мә нінде екі тү бірі () болады. болғ андық тан, егер тү бірлерінің тым болмаса біреуі аралық қ а кірсе, бастапқ ы тең деудің мә ні болады,

А. Екі тү бірді де осы аралық та жатады деп алайық, яғ ни . Онда функциясының минимум нү ктесінің абциссасы мына аралық та жатады:

функцияның минимал мә ні теріс: а-ның кез келген мә нінде орындалады; функцияның мә ні аралық тың соң ында теріс емес: . Қ арастырылғ ан шарттардың жү йесі ү йлеспегендіктен, аралық тарда екі шешімі болуы мү мкін емес.

В. аралық қ а тү бірлерінің біреуі жатады деп алайық. Онда аралық тың соң ында ә р тү рлі таң балы екі мә н қ абылдайды, оның біреуі нө лдік болуы мү мкін, яғ ни шарты орындалады, бұ дан интервалдар ә дісімен аламыз. Жауабы: .

2-мысал.

Шешуі. Тең деудің сол жақ бө лігін кубтардың қ осындысы бойынша тең деуін аламыз немесе яғ ни мә ні болады.

Соң ғ ы тең сіздік береді. Ерекше жағ дай . Онда тең деу мына тү рге келеді , шешімі жоқ.

Жауабы: болғ анда,

жә не болғ анда, шешімі болмайды.

3-мысал. -тең деуін шешу.

а) Бір мезгілде мына тең сіздіктер орындалуы тиіс:

бұ дан

Осы шарт бойынша

б) Бір мезгілде мына тең сіздіктер орындалуы тиіс:

бұ дан .

Осы шарт бойынша

Жаубы: болғ анда,

болғ анда,

болғ анда,

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Математикалық индукция[ө ң деу]

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынғ ан мә лімет

Индукция (латынша - қ оздыру, тудыру) — дербес жеке тү сініктер негізінде ақ иқ аттығ ы пайымдалатын жалпылама тү сінік тұ жырымдау.

Математикалық индукция[ө ң деу]

М. и. — аксиомалар негізінде жалпы тү сінік дә лелдеу ә дісі.

Толымсыз индукция[ө ң деу]

Т. и. — дербес тү сініктердің кейбір жайттары (толық емес) ғ ана ескеріліп жалпылама тү сінік тұ жырымдау ә дісі.

Толымсыз индукция арқ ылы тұ жырымдалатын қ орытындының ақ икат та, жалғ ан да болуы мү мкін. Осы кемістігіне қ арамастан сандар қ асиеттерін зерттеуде бұ л ә дістің маң ызы ерекше. Сандардың қ асиеттері кө пшілік жағ дайдабақ ылаулар нә тижесінде ашылып, соң ынан дә лелденіп отырғ ан.^[1] Математикалық индукция принципі—

натурал параметріне тә уелді тү сінігі ү шін дә лелденген болса жә не кез келген натурал сан ү шін пікірі де тура деп кабылданатын болжамнан ү шін де тура болатындығ ы дә лелденсе, онда тү сінігі х-тің барлық натурал мә ні ү шін орындалады

Бұ л ә дістің мазмұ ны мынадай: дә лелденетін тү сінік бір дербес (жеке) жағ дай ү шін, айталық, пікір ү шін тексерілген болсын. Осы пікірдің болғ ан кезде де тура болатындығ ынан бұ л пікірдің -нің келесі мә ні, яғ ни 1 ү шін де тура болатындығ ы дә лелденген болсын. Сонда мынадай тұ жырым айта аламыз: пікір -ге тең болғ ан кезде тексерілді, дә лелденген жайт бойынша бұ л ү шін де тура болады, ге тең болғ ан кезде дү рыс болуы себепті, ол болғ ан кезде де орындалады т.с.с., пікір n-нің барлық мә ндерінде тура болады. Олай болса, кез келген натурал n ү шін қ андай да бір тү сінікті дә лелдеу ү шін, екі сатылы дә лелдеме қ ажет: бірінші сатыда пікірдің болғ ан жағ дайда тура болатындығ ы жә не екінші сатыда осының ә рқ ашан тура болуы себепті оның болғ ан кезде тура болуынан бұ л пікірдің болғ ан жағ дайда да тура болатындығ ы тұ жырымдалды. Қ орыта айтқ анда, бү л ә дістің ең қ арапайым нобайы мынадай: біз қ андай да бір пікірдің болғ ан жағ дайда тура болатынын дә лелдейміз (индукция базисі), сонан соң ү шін пікірдің тура болатындығ ын болжап (индукция болжамы), оның ү шін де тура болатынын дә лелдейміз (индукциялық қ адам).

Математикалық индукция ә дісін натурал санына тә уелді болатын пікірлер ү шін ғ ана пайдалануғ а болады. Негізінен бұ л ә діс мынадай мә селелерді шешу ү шін қ олданылады:

1. жеке (дербес) жағ дайлардағ ы пайымдаулардан қ андай да бір заң дылық ты байқ ап, оның тура болатындығ ын математикалық индукция ә дісімен дә лелдейді;

2. кейбір формулалардың тура болатындығ ы математикалық индукция ә дісімен дә лелденеді.

· Математикалық индукция аксиомасы^[2]

-------------------------------------------------------------------------------

Математикалық индукция ә дісі, ұ сынылғ ан пікірдің не тұ жырымның ақ иқ аттығ ын дә лелдеуге кө мектесетін ә діс. Математикалық индукция ә дісімен дә лелдеу екі кезең нен тұ рады.

1) Натурал сан n=1 болғ анда (немесе бұ л тұ жырымның мағ ынасы болатын n-нің басқ а мә ндерінде) дұ рыс болса

2) n=k (к > 1) қ андай бір натурал мә ні ү шін ақ иқ ат деп ұ йғ арып, келесі n=k+1 ү шін де ақ иқ ат болса, онда тұ жырым n- нің барлық натурал мә ндері ү шін ақ иқ ат болады.

Математикалық индукция ә дісі натурал n- ге тә уелді тұ жырымдарды дә лелдеуге қ олданылады.

1- есеп. Тақ натурал сандар ү шін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығ ын дә лелдеу керек

1. 
   n = 1 болса S(1) = 1²
2. 
   n = k ү шін формула S(n) = n² орынды деп ұ йғ арып, n = k+1 ү шін орынды болатындығ ын S(k+1) = (k+1)² дә лелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k² +2k+1 = (k+1)² яғ ни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дә лелденді. Сондық тан барлық натурал n сандар ү шін орынды.

2- есеп. Натурал сандардың алғ ашқ ы n мү шелерінің квадраттарының қ осындысы ү шін 1² +2² +3² +4² +...+ n² = тең дігінің орындалатындығ ын дә лелдеу керек.

1) S(1) = 1 = 1² =1 n=1 ү шін орынды.

1. 
   n=k ү шін орынды деп ұ йғ арамызда,

n=k+1 ү шін дә лелдейік.

S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² = +(k+1)² = = = = мұ нан біз n=k+1 ү шін формула орынды екендігін дә лелдедік, ендеше кез – келген

натурал n ү шін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n ү шін мына тең діктің орынды екендігін дә лелдейік

1+3+6+10+...+ =

1. 
   n=1 онда, 1= орынды.
2. 
   n=k ү шін орынды деп ұ йғ арамызда,

n=k+1 ү шін дә лелдейік

1+3+6+...+ + =S(k)+ =

= + = = =

= формула n=k+1 ү шін орынды. Онда тең дік кез- келген натурал сан ү шінде орынды.

4-есеп. Tең діктің тура екендігін дә лелдеу керек.

+ + +...+ =

1) n=1 ү шін = орынды.

2) n=k ү шін орынды деп ұ йғ арып,

n=k+1 ү шін дә лелдейік

+ + +...+ + = + =

= = = = n =k+1 ү шін дә лелденді, олай болса тең дік кез – келген натурал n ү шін орынды.
5-есеп. Кез – келген натурал n > 3 ү шін + + +…+ < тең сіздігінің

орынды екендігін дә лелдеу керек.

1) n=4 1+ + + = 1+ = < ;

2) n=k ү шін орынды деп алып,

n=k+1 ү шін дә лелдейміз

+ + +...+ + < + = 2- + = - + -

- + = + ( - ) < ; себебі - < 0

n=k+1 ү шін тең сіздік орынды. Сондық тан кез-келген натурал n> 3 орынды болады.

6-есеп. 4ⁿ+15n-1 ө рнегі натурал n 1 болғ анда 9- ғ а бө лінетіндігін дә лелдейік.

1. 
   n=1 болғ анда, 4¹+15 1-1=18 9-ғ а бө лінеді.
2. 
   n=k болғ анда 4^k+15k-1 ө рнегі 9-ғ а бө лінеді деп ұ йғ арып,

n=k+1 ү шін 9-ғ а бө лінетіндігін дә лелдейік.

4^k+1+15(k+1)-1=4^k 4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4^k 4+60k-4)-45k+18=

=4(4^k+15k-1)-9(5k-2) мұ ндағ ы 4(4^k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ғ а бө лінеді, онда n 1 кез- келген натурал сан болғ анда берілген ө рнек 9- ғ а еселік болады.
^{-------------------------------------------------------------------------------------------------------}