N .У ТУ Л

2х^у

0 = 1.

В геометрической интерпретации коэффициент г показывает, насколько геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к прямой линии. Подчеркнем это обстоятельство еще раз: величина коэффициента корреляции отражает не тесноту связи у и х вообще, а только близость этой связи с линейной. Далее будут приведены примеры, когда коэффициент корреляции по абсо­лютной величине мал (линейная связь слабая), а реальная связь результата производства с производственными факторами доста­точно тесна.

В соответствии с определением коэффициента парной кор­реляции его значения находятся в интервале [— 1, 1]. На прак­тике принято считать, что если модуль коэффициента г нахо-

дится в пределах 0...0Д5, то линейная связь отсутствует. При |г| = 0, 1б...0, 2 связь плохая, при |г| = 0, 21...0, 3— слабая, при г\ = = 0, 31...0, 4 —умеренная, при \г\ = 0, 41...0, 6 — средняя, при г\ = = 0, 61...0, 8— высокая, при \г\ = 0, 81...0, 9 — очень высокая, при \г\ = 0, 91... 1 —полная. При положительных значениях коэффи­циента парной корреляции говорят о прямой связи, при отрица­тельных — об обратной.

В случае, когда мы имеем дело с множественной зависимос­тью (К> 1), используют коэффициенты парной корреляции для пар

отдельных факторов— ^гх[х2'^гхт ^{и т}-^д-> ^котоРые отражают кор-релированность соответствующих факторов (но только в смысле линейной связи!). Формула для выборочных оценок таких коэф­фициентов подобна (9.1).

Введем матрицу коэффициентов парной корреляции:

УУ УХ\ 'ух₂

Г У V

'х\у х\х\ х\Х2

УХ К ^гх\хк

^гх_ку ^гх_кх_х ^гх_кх₂

'хкхк

Тогда коэффициент множественной корреляции (иногда ис­пользуют термин «свободный коэффициент корреляции») между у и совокупностью факторов х[,..., х% определяется следующим образом:

^гу; х\,..., х_к |1"

¹уу

где Р— определитель матрицы Р; Руу — алгебраическое дополнение первого эле­мента матрицы Р.

Область значений коэффициента множественной корреля­ции — [0, 1]. Этот коэффициент показывает, насколько в (К + 1)- мерном пространстве переменных (у, х_ь..., х_х) геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к гиперплоскости.

В случае парной зависимости формула для коэффициента множественной корреляции сводится к (9.1), а в случае зависи­мости результата производства от двух факторов может быть пре­образована к виду

'у; х[, х₂

' ^Гух\ ^{+ Г}ух2 ^2гх\Х2 ^Гух\ ^гух₂

Х-г¹

Как уже отмечалось, коэффициенты корреляции отражают не тесноту связи у с Х\,..., х^ вообще, а близость этой связи к линей­ной. Тесноту нелинейных связей можно характеризовать выбороч­ным корреляционным отношением:

N,. _Л2

X [у^]-уЛ

I ДМ

где у' =/\х{,..., х'Л —значение результативного показателя, определяемое в соот­ветствии с построенной регрессионной (сглаженной) зависимостью в точках, зада­ваемых анализируемой выборкой.

Область значений корреляционного отношения — [0, 1]. Корреляционное отношение показывает, насколько принятая

регрессионная зависимость у=/(х],..., х^), ^гДе функция / отно­сится к определенному классу (необязательно линейных функ­ций), соответствует реальной статистической картине.

Для случая линейной регрессии (когда функция / линейна) выполняются соотношения:

К=г_{ух Хк} (случай множественной связи); К =|г^| (случай парной связи).

Очевидно, что если связь у с х_и..., х_к тесная и близкая к линей­ной, то как К, так и г_{у; хь > хк} будут близки к 1.

Подчеркнем, что хотя в случае линейной регрессии значения коэффициентов К и г_у.^_Хх^_Хк совпадают, в общем случае они ха­рактеризуют различные аспекты исходной статистической ин­формации (выборки), в связи с чем на практике целесообразно совместное их использование.