Математическая модель.

Часть математической модели кратко описана в [Борзенко Е.И., Зайцев А.В. …, стр. 152–153; стр. 160–163, модель D; Кафаров …].

С целью удобства программирования в дальнейшем будем полагать i = 1, 2, …, n, где значению 1 соответствует куб (испаритель нижнего конденсатора-испарителя), значению n – дефлегматор (кон­денсатор верхнего конденсатора-испарителя), значениям 2, …, (n – 1) – номера тарелок.

Потарелочный материальный баланс j -го компонента:

куб (i = 1)

, (1)

где – эффективность куба, ;

обычные тарелки (i = 2 … n – 1, i ≠ f):

; (2)

тарелка питания (i = f, 1 < f < n):

; (3)

дефлегматор (i = n):

, (4)

где – эффективность дефлегматора, .

Конкретный вид зависимости для определения равновесного состава пара для реальной смеси обычно находят с учетом экспериментальных значений; в общем случае ее можно представить при p = const функциональной зависимостью . Эту зависимость можно выразить в аналитической, численной или графической форме. Мы будем пользоваться аппроксимацией экспериментальных данных, наиболее полно отраженных в [Акулов Л.А., Борзенко Е.И., Зайцев А.В. новая монография, гл. 14, 15], или аналитическими формулами (см. программы…).

Согласно методу независимого определения концентраций [В.В. Кафаров, … Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии (стр. 270), 38 в БорЗай], вводим

, (5)

где – константа фазового равновесия j -го компонента на i -том элементе, – коэффициент относительной летучести компонента.

Подставим (5) в (1)–(4) и запишем для соответствующих i:

или в удобной для дальнейших расчетов форме, перенеся свободные члены в правую сторону с учетом заданных величин концентраций в питании и предполагая, что , получим для любых i, j:

(6)

где V_D = D, G_i = 0, x_{i +1} не определено (равно 0) при i = n + 1; V_R = R, L_i = 0, x_{i –1} не определено (равно 0) при i = 1.

Потарелочный энергетический баланс всей смеси можно получить, сложив балансы всех компонент на i -ой тарелке с учетом стехиометрических соотношений

. (7)

Таким образом, из (1)–(4) получаем

, при i = 1;

, при i = 2 … n, i ≠ f;

, при i = f, 1 < f < n + 1;

, при i = n + 1.

Обычно используют m – 1 уравнений для компонент и уравнения материального баланса (8) для смеси в целом. Удобнее (мы так и будем делать) использовать все m уравнений потарелочного материального баланса (6) без уравнения материального баланса для смеси.

При использовании метода независимого определения концентраций стационарное распределение потоков L_i и G_i считается известным. Предположим, что первоначально в колонну залито заданное количество вещества, которое в режиме «холостого хода» (при R = D = F = 0) равномерно распределяется по колонне: L_i = G_i = L ₀. (Впоследствии надо проверить влияние величины L ₀ на итоговое распределение концентраций). В рабочем режиме получаем следующее стационарное распределение потоков:

(9)

Здесь мы полагаем, что чистый дистиллят D отводится в парообразном состоянии, а кубовая жидкость R – в жидком. Межфазовый обмен отсутствует, т. е. в любом сечении (на любой тарелке, при любом i) не происходит перераспределение массы вещества между потоками пара и жидкости, происходит лишь перераспределение искомых концентраций компонентов. Не трудно убедиться, что общее уравнение баланса вещества в колонне F = R + D уже заложено в уравнения (9).

Константа фазового равновесия в уравнениях (6) является физической характеристикой и может быть определена по (5) для равновесного состояния (что не совсем корректно, так как состояние неравновесное, надо оценить вносимую погрешность). Теоретически коэффициенты относительной летучести вычисляются по …. Также можно использовать эмпирические данные [Акулов Л.А., Борзенко Е.И., Зайцев А.В. новая монография, гл. 14, 15].

Таким образом, система (6) с заданными по (9) коэффициентами L_i и G_i содержит [(n + 1) m ] линейных уравнений относительно [(n + 1) m ] независимых переменных при условии, что величина константы фазового равновесия на каждой тарелке есть известная постоянная.