Расчет собственных частот и форм колебаний лопаток на основе теории стержней.

Система координат. Начало основной системы координат расположено в центре масс корневого сечения лопатки (рис. 1.1), ось Z совладает с радиальным направлением (осью r), ось X направлена вдоль оси вращения (по 'потоку газа), ось Y лежит в плоскости вращения и образует с осями X и Z правую систему координат.

Рис. 1.1. Схема и оси координат закрученной рабочей лопатки

Рассматривается также местная система координат с началом в центре массы поперечного сечения лопатки (точке O ₁ ). В ней оси Х₁, Y₁, Z₁ параллельны осям основной системы, оси , лежат в плоскости поперечного сечения и являются главными осями; они повернуты на угол а по отношению к осям X, Y (или Х₁, Y₁). Ось лопатки можно считать прямолинейной и совпадающей в не деформированном состоянии с осью Z. При деформациях центр масс сечения получает перемещения вдоль осей X, Y, Z соответственно и, u, w; сечение поворачивается на углы _х, _y и относительно центральных осей Х₁, Y₁, Z₁.

Уравнения равновесия составляются для элемента лопатки, выделенного двумя близко расположенными поперечными сечениями (рис. 1.2). На элемент объема dFdz в точке А действуют силы инерции при колебаниях

- ; - ; - ,

где dM= rqdFdz; ; ; ,

и центробежные силы при частоте вращения ротора w

dC_r== rw²(r+w_A) dFdz; dC_Y = rw²(y_{1 +} u_A) dFdz. (1.1)

Рис. 1.2. Усилия, действующие на колеблющуюся вращающуюся лопатку

При строгом учете инерционных сил следует принимать во внимание кориолисовы силы инерции, однако при расчетах частот и форм колебаний ими можно пренебречь. Смещения точки A, считая поперечное сечение «жестким», будут

u_A = и — q y₁; v_A = v + q x₁; w_A= w + f _Xy₁ -f _yx₁ (1. 2)

Предполагается приближенно, что центры массы и центры жесткости сечении совпадают.

Равнодействующие усилия q_x, q_y, q_z и моменты т_х, m_y, rn_z инерционных сил на единицу длины лопатки запишутся так:

q_x = - r

q_y= - r ;

q_z = - r

m_x = ; (1.3)

m_y = ;

m_z= .

В последних уравнениях J_X, J_Y, J _XY осевые и центробежный моменты инерции сечения лопатки относительно осей Х₁ Y₁ J_P — полярный момент инерции относительно оси Z₁ (здесь и в дальнейшем используем запись J_X вместо J_X1 и т_х вместо т_Х1 и т. д.). Анализ показывает, что при колебаниях лопатки можно пренебречь инерционными усилиями, связанными с осевым перемещением w, а в большинстве задач — и инерцией поворота относительно осей Х₁ У₁. Учитывая это, запишем уравнения равновесия элемента лопатки в виде

; (1.4 )

,

где Q_x, Q_Y и N — перерезывающие и нормальная силы в сечении лопатки; М_X, M_Yt M_Z — составляющие момента в сечении. Усилие N с точностью до малых членов определяется действием центробежных сил, и в дальнейших соотношениях его следует считать заданным, как и постоянную составляющую крутящего момента rw²J_XY.

При собственных колебаниях лопатки перемещения и усилия изменяются по гармоническому закону:

u(z, t) — u(z) cos pt; Qx(z, t) = Q_x(z) cos pt и т. д. (1.5)

где р — круговая частота колебаний в рад/с; частота колебаний в герцах (1/с) f = p/(2p). С учетом выражении (1.5) условия равновесия для амплитудных значений переменных факторов записываются так:

(1.6)

где обозначено и т. д. Заданная центробежная сила N определяется третьим уравнением (1.4), откуда

N = .

Соотношения упругости. При изгибных деформациях незакру-ченной лопатки смещение точки А поперечного сечения с координатами x, h) вдоль оси лопатки Z на основании гипотезы плоских сечений будет

w_A= w + j_xh - j_hx

где w — смещение центра тяжести сечения; j_x, j_h — углы поворота сечения. Деформация

(1.7)

Выражение (1.7) приближенно справедливо и для не сильно закрученных лопаток. Принимая напряженное состояние одномерным (s = Еe), где s — нормальное напряжение в поперечном сечении, E - модуль упругости, и учитывая связь между силовыми факторами и напряжениями

(1.8)

здесь M_x, M_h — изгибающие моменты относительно главных осей x, h, найдем деформацию e₀ и составляющие упругой кривизны оси

e₀ = (1.9)

где J_x, J_h — главные моменты инерции сечения.

Составляющие кривизны упругой линии лопатки по осям X и У

c_X =

(1.10)

c_Y =

причем М_x = M_X cos a + M_Y sin a; M_h = — M_X sin a + M_Y cos a.

(1.11)

Автоколебания(флаттер) - самовозбуждающияся (без внешних периодических воздействий) колебания рабочих лопаток, возникающие в определенных условиях обтекания их воздушным потоком. В основе автоколебательных процессов лежат обратные связи, т.е.силы возникающие вследствие колебательных движений упругих тел и поддерживающие эти движения. В лопаточных венцах обратные связи имеют аэродинамическое происхождение, а колебания связаны с упругими деформациями лопаточного венца, такие автоколебания называют аэроупругими.

Необходимую для поддержания колебаний энергию лопатки получают от обтекающего их потока воздуха. Автоколебания представляют большую опасность для лопаток из-за быстрого нарастания напряжений до недопустимо высоких значений. Поэтому важно знать границу их возможного возникновения и условия влияющие на ее положение (испытания с тензометрированием). Автоколебания лопаток имеют общие черты с автоколебаниями крыла, но принципиально отличаются от них, т.к. представляют собой колебания лопаточного венца как единой динамической системы.

Типы автоколебаний:

- срывные автоколебания, возникающие на больших углах атаки, когда происходит отрыв потока и производная коэффициента нормальной к профилю силы С по углу атаки становится отрицательной;

- низкочастотные автоколебания (наибольшая опасность для компрессоров), возникающие на ступенях без антивибрационных связей и происходящие по основной форме изгибно-крутильных колебаний лопаток. Эти автоколебания происходят с общей для всего венца частотой, близкой к средней частоте собственных колебаний лопаток по первой форме. Между колебаниями соседних лопаток всегда имеется некоторый сдвиг фаз. В однородном венце сдвиг фаз постоянен и равен = 2 m/ n

m -число волн деформаций венца по окружности колеса

n -число лопаток.

Неоднородность лопаточного венца - разночастотность отдельных лопаток сильно влияет на аэроупругую устойчивость. Венцы с неодинаковыми по собственной частоте лопатками более устойчивы, чем однородные, но повышение неоднородности сверх некоторой величины уже не дает улучшения (Роmax- Роmin), имеет значение и расстановка лопаток по венцу.

Прогнозирование границ автоколебаний осуществляется:

- путем теоретического анализа критериев, определяющих аэроупругую устойчивость лопаточных венцов при различных типах колебаний;

- использованием вероятностно-статических оценок, основанных на обработке экспериментального материала.

Частотная отстройка от резонансов - средство эффективного снижения динамических напряжений для двигателей с узким диапазоном рабочих частот вращения.

Для двигателей с широким диапазоном рабочих частот вращения полезно переводить сильные резонансы на малоиспользуемые или переходные частоты вращения. Разброс частот устанавливается по результатам виброиспытаний не менеетрех комплектов лопаток серийного изготовления, но и расчетным путем с учетом допусков на размеры лопаток, обеспечивающих min и max частоты.

Уменьшение интенсивности возбуждения от газовых сил.

Неравномерности потока, возникающие в воздухозаборнике, имеют интенсивные низкие гармоники, которые могут возбуждать повышенные резонансные напряжения по низким формам в различных, но особенно, в первых ступенях компрессора.

Неравномерность может усилиться при работе двигателя на стоянке, при боковом ветре, при попадании газов из реактивного сопла на вход (особенно на вертолетах) и в других нерасчетных условиях.

Уменьшение возбуждения достигается путем общего выравнивания поля давлений по окружности или путем уменьшения только опасных гармоник неравномерности потока.

Неподвижные элементы конструкции в проточной части приводят к возмущениям, которые передаются по потоку и против него.

За Н.А. и стойками возникают кромочные следы - участки с пониженными скоростями и давлением по сравнению с ядром потока. Возбуждение уменьшают путем улучшения обтекания, введением разношагости, увеличением осевого зазора между вращающимися и неподвижными решетками и др., при этом увеличивается аэродинамическое демпфирование на лопатках. (Испытание - снятие полей Р и тензометрирование.)

Камеры сгорания являются источниками неравномерностей по окружности полей Т и Р, зависящих как от процессов горения так и от неравномерности потока воздуха за компрессором, от блочной конструкции элементов к.сг. и газосборника, от местных отборов и подводов воздуха и др. Амплитудные и фазовые спектры неравномерности Т и Р обычно не совпадают, что приводит к неодинаковым зависимостям от них суммарных переменных газовых сил для различных гармоник.

Особенности колебаний дисков с лопаточными венцами.

На рис. 3.4 показана зависимость, первых трех частот собственных колебаний диска с лопатками от числа волн при опирании диска по ободу [69] B данном случае диск относительно слабо взаимодействуетс лопатками в спектре частот четко различаются лопаточные частоты, не зависящие от числа волн (горизонтальные участки кривых 1—III), и частота диска с жесткими лопатками

(участки IV). Сильное взаимодействие этих форм и изменение частот проявляются только при тех числах волн, где парциальные частоты лопаток и диска пересекаются. С изменением числа волн меняется порядок чередования форм. На рис. 3.4 и др. зависимости f(m) представлены условно в виде непрерывных кривых, хотя физический смысл они имеют только при целых числах т. В некоторых случаях наблюдается более сильное взаимодействие элементов системы, охватывающее ряд чисел волн.

Из-за фазовых сдвигов между отдельными составляющими соответствующие им узловые точки оказываются на разных радиусах, т. е. строго говоря, в системе нет узловых (неподвижных) линий, как это присуще элементарном задачам. Узловые «диаметры» на диске также оказываются искривленными [43]. Хотя такие искажения узловых линий невелики, они приводят к определенному «размытию» картины колебаний при ее экспериментальном изучении.

Натяг по антивибрационным (бандажным) полкам существенно влияет на спектр колебаний колеса. На рис. 3.5, а приведены результаты расчета частот колеса турбины с полочными лопатками, имеющими зазор между полками, на рис. 3.5, б - того же колеса, но с натягом между полками, образующими сплошное бандажное кольцо. Первая форма колебаний изолированных лопаток в плоскости меньшей жесткости, интенсивно взаимодействовавшая с диском при малом числе волн, при наличии натяга исчезла; вторая форма, связанная в основном сколебаниями диска и лопаток в плоскости их большей жесткости (аксиальные колебания колеса) почти не изменилась; появилась новая форма связанных колебании системы в целом. Экспериментальные значения частот, полученные спектральным анализом осциллограмм (см. гл. IV), хорошо совпали с расчетными.

Если для отдельного осесимметричного диска положение узловых линий при данном числе волн произвольно, то для колеса с лопатками их положение относительно лопаток для каждой формы колебаний вполне определено, апроизвольным является лишь положение лопатки i =1, относительно которой выбирается начало отсчета координаты q. Так же как для отдельного диска, для колеса в целом кроме форм колебаний Y_m по уравнению (3.28) существуют ортогональные им формы (r, q) = _m(r) sin mq— _m(r)cos mqс независимыми амплитудами и фазами.

Колеса с неоднородными лопаточными венцами. Лопатки реальных колес всегда.имеют некоторые отличия в пределах чертежных допусков на изготовление. Не вполне одинаковы размеры и расположение полок, шаги лопаток и другие параметры. Это проявляется, в частности, в разбросе собственных частот лопаток, выполненных по одному и тому же чертежу. Разброс частот необходимо учитывать при сопоставлении расчетных и экспериментальных данных и при отстройке лопаток от резонансов. Различие между лопатками влияет на положение точек с максимальными напряжениями и на соотношение напряжений в различных точках лопаток, что должно учитываться при проведении тензометрирования и анализе его результатов.

Неодинаковость лопаток делает венец не строго однородным и нарушает его циклическую симметрию. В этом случае общее число форм собственных колебаний при данном числе волн не меняется, но вместо каждой пары ортогональных форм с одинаковыми частотами появляются две различные формы с близкими, ноуже не строго одинаковыми частотами; происходит «расслоение» спектра частот [38]. Расчеты показывают, что практически возможная для колес газотурбинных двигателей расстройка частот незначительна. Однако, связанные с нею фазовые сдвиги и наложение расслоившихся форм колебаний являются одними из основные, источников неравномерности распределения напряжений по лопаточному венцу при его колебаниях на двигателе.

В однородных колесах положение узлов по окружности определяется условиями возбуждения колебаний; в неоднородных каждая из двух близких форм колебаний имеет свою конфигурацию.