Критерий инверсий

Инверсией называется неравенство типа x_i > x_j при i < j. В реализации случайного процесса - последовательности N наблюдений – таких наблюдений А (общее число инверсий):

А= _i= , h_ij=

Пример: N=8 наблюдений: х₁=5; х₂=3; х₃=8; х₄=9; х₅=4; х₆=1; х₇=7; х₈=5.

Здесь х₁ > х₂, х₁> х₅ и х₁ > х₆, т.е. А₁=3 – число инверсий для х₁.

Для х₂ (i=2) A₂=1; продолжив эту процедуру, найдем, что А₃=4; А₄=4; А₅=1, А₆=0, А₇=1. Таким образом, общее число инверсий равно А=А₁+А₂+…+А₇=3+1+4+4+1+0+1=14.

Сравнивая это число с табличными пределами для заданных α (см. например, табл. А7 [ ]), определим независимы ли наблюдения, или в последовательности присутствует тренд. Этот критерий более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда.

Проверку периодичности на практике можно осуществлять с помощью методов анализа случайных процессов. В частности, периодические составляющие можно обнаружить в случайном процессе в результате визуального анализа оценок спектральной плотности, плотности распределения и (или) ковариационной функции, рассчитанных по данным наблюдений над стационарным процессом. Для решения этой задачи чаще всего используют оценки автоспектра. Для этого рассчитывают оценку спектральной плотности с максимально высоким разрешением по частоте. В случае наличия периодических составляющих на спектре будет явное наличие острых максимумов, высота которых будет расти пропорционально уменьшению полосы пропускания сигнала.

Проверку нормальности можно проводить традиционными классическими методами. Можно, измерив плотность вероятности значений процесса, сравнить ее с теоретическим нормальным распределением, можно применить критерий нормальности при больших статистических ошибках.

Лучше применять непараметрические критерии. Один из наиболее удобных – критерий согласия хи – квадрат.

Х²= ,

где f_i –число наблюдений, попавших в i – й интервал;

F_i – ожидаемая частота i – ого интервала;

к – число интервалов, в которое группируется N наблюдений.

Область принятия гипотезы имеет вид: Х² ≤ χ ² m, α (табличные значения, см например, табл. А3 [ ]).

Для проверки нормальности используют интервалы равной длины - Δ х≈ 0, 4s (s – стандартное отклонение выборочных данных, СКО), при условии F_i > 3 для всех интервалов.