Примеры решения и оформления задач

Задача 1. (аналитическая группировка). По ряду предприятий отрасли известны данные о средней годовой стоимости основных производственных фондов и фондоотдаче (стоимости продукции в рублях, приходящейся на один рубль основных фондов):

Применяя к исходным данным метод аналитической группировки, выявить характер связи между стоимостью основных фондов, объемом выпуска продукции и средней фондоотдачей (стоимостью продукции в рублях, приходящейся на 1 рубль основных фондов).

При группировке по факторному признаку (стоимости основных фондов) выделить четыре группы предприятий с равными закрытыми интервалами. Величину интервала округлять в верхнюю сторону до ближайшего целого числа. Результаты группировки отразить в итоговой статистической таблице.

В заключение сделать обоснованные выводы:

· о структуре рассмотренной совокупности предприятий по стоимости основных фондов;

· о наличии и характере связи между стоимостью основных фондов, объемом выпускаемой продукции и фондоотдачей.

Р е ш е н и е:

1. В соответствии с условиями задачи в качестве группировочного признака берем стоимость основных производственных фондов и образуем четыре группы предприятий с равными интервалами. Величину интервала определяем по формуле

млн руб.

Полученное значение округляем в верхнюю сторону до ближайшего целого числа и принимаем величину интервала 4 млн руб.

Обозначаем границы групп (млн руб.):

2. Строим рабочую таблицу. В таблице выделяем соответствующие группы предприятий, указываем для каждого предприятии стоимость основных производственных фондов, фондоотдачу, рассчитанные объемы продукции (произведение фондоотдачи и стоимости основных фондов), а также приводим исчисленные по каждой группе итоговые результаты.

Таблица 2

1. Подготавливаем макет итоговой статистической таблицы и заносим в нее данные из рабочей таблицы.

Таблица 3

Группировка предприятий отрасли по величине основных производственных фондов

4. Исчисляем и заносим в итоговую таблицу внутригрупповые показатели:

а) средние стоимости основных фондов (гр. 5)

· середины интервалов (над косой чертой)

строка 1: (19+23)/2 = 21; строка 2: (23+27)/2 = 25;

строка 3: (27+31)/2 = 29; строка 4: (31+35)/2 = 33.

· по формуле средней арифметической невзвешенной (под косой чертой)

строка 1: 104, 2/5 = 20, 84; строка 2: 176, 5/7 = 25, 21;

строка 3: 343, 7/12 = 28, 64; строка 4: 199, 6/6 = 33, 27.

Средние стоимости основных фондов в расчете на одно предприятие, определенные как середины соответствующих интервалов, несколько отличаются от истинных средних, определенных по формуле средней арифметической невзвешенной по совокупности всех предприятий группы. Такое расхождение, в той или иной мере, в принципе имеется всегда, поскольку использование в качестве средней середины интервалов является приближенным методом, при котором не учитывается распределение конкретных вариантов внутри интервала, а для оценки используются только его границы.

б) средний объем продукции (гр. 8)

строка 1: 327, 51: 5 = 65, 50; строка 2: 600, 16: 7 = 85, 74;

строка 3: 1253, 44: 12 = 104, 45; строка 4: 782, 36: 6 =130, 40.

в) средняя фондоотдача (гр. 9)

строка 1: 327, 51/104, 2 = 3, 14; строка 2: 600, 16 /176, 5 = 3, 40;

строка 3: 1253, 44/343, 7 = 3, 65; строка 4: 782, 36 /199, 6 = 3, 92.

5. Исчисляем и заносим в итоговую таблицу показатели по всей совокупности предприятий (строка «Итого»):

а) средняя стоимость основных фондов (гр. 5)

· по формуле средней арифметической взвешенной для интервальных рядов распределения с использованием в качестве групповых средних середин интервалов (над косой чертой):

· по формуле средней арифметической взвешенной для интервальных рядов распределения с использованием исчисленных по совокупности предприятий групповых средних (под косой чертой):

или по формуле средней арифметической невзвешенной 824, 0/30 = 27, 47;

б) средняя стоимость произведенной продукции (гр. 8): 2963, 47/30 = 98, 78;

в) средняя фондоотдача (гр. 9)

по формуле средней арифметической взвешенной:

или по формуле средней арифметической невзвешенной:

На основании данных, представленных в итоговой таблице, можно сделать следующие выводы.

В рассмотренной совокупности в основном преобладают предприятия со стоимостью основных фондов от 27 до 31 млн руб. Доля этой группы в общей численности предприятий составляет 40%, стоимость их основных фондов – 41, 7%, а объем произведенной продукции – 42, 3%.Между стоимостью основных фондов, объемом выпускаемой продукции и фондоотдачей наблюдается прямая связь, т.е. чем больше стоимость основных фондов, тем в среднем больший объем продукции производит предприятие и больше в среднем фондоотдача.

Задача 2. (показатели центра распределения и вариации).Данные о выработке продавцов торговой сети приведены в таблице:

Исчислить среднюю выработку продавца, дисперсию и среднее квадратическое отклонение выработки; определить модальный и медианный интервалы выработки.

Р е ш е н и е:

1. Определяем среднюю выработку продавца по формуле средней арифметической взвешенной

=

=75*0, 17 + 105*0, 24 +135*0.32 + 165*0, 19 + 195*0, 08 = 128, 1 тыс. руб.

2. Определяем дисперсию и среднее квадратическое отклонение

=

= (75 – 128, 1)² 0, 17 + (105 – 128, 1)² 0, 24 + (135 – 128, 1)² 0, 32 +

(165 – 128, 1)² 0, 19 + +(195 – 128, 1)² 0, 08 = 1239;

или = – = = d – =

= (75² 0, 17 + 105² 0, 24 + 135² 0, 17 + 1655² 0, 17 + 195² 0, 17) – (128, 1)² =1239.

= 35, 2тыс. руб.

3. Определяем модальный и медианный интервалы. В данном распределении наиболее часто встречается интервал (120–150) тыс. руб., следовательно, он и является модальным. Суммарная доля продавцов 0, 50, которая определяет середину ряда распределения, также приходится на этот интервал (0, 17 + 0, 24 = 0, 41 < 0, 50; 0, 17 + 0, 24 + 0, 32 > 0, 50), т. е. этот интервал одновременно является и медианным.

Задача 3. (ряды динамики). Используя взаимосвязь показателей динамики, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики по следующим данным о товарообороте специализированного магазина по продаже бытовой техники за 2010-2014гг. (известные данные в таблице выделены жирным шрифтом, рассчитанные - курсивом).

Р е ш е н и е:

Решение задачи целесообразно начать с определения отсутствующих в таблице уровней ряда динамики, используя для этого данные об уровне предыдущего года и об одном из известных показателей динамики. Процедура расчета в этом случае выглядит следующим образом:

· уровень 2010г. находим, используя уровень 2011г. и абсолютный прирост в 2011г.:

y₂₀₁₀ = y₂₀₁₁ – Δ y₂₀₁₁ = 14, 55 – 1, 25 = 13, 3 млн. руб.

· уровень 2012г. определяется так:

y₂₀₁₂ = y₂₀₁₁К_{р, 2012} = 14, 55 1, 045 =15, 2 млн. руб.

· при определении уровня 2013 г. исходим из того, что в 2014г. каждый процент прироста составлял 0, 165 млн руб. Следовательно, уровень 2013г., принимаемый за 100%, составил 16, 5 млн руб. (т.е. в 100 раз больше абсолютного значения 1% прироста);

· уровень 2014 г.:

y₂₀₁₄ = y₂₀₁₃ - К_{р, 2014} = 16, 5 -1, 085 = 17, 9 млн руб.

Далее выполняется расчет всех недостающих показателей динамики, которые затем заносятся в таблицу (курсив).

Подход к расчету базисных показателей динамики остается таким же, как и в рассмотренной задаче, только необходимо иметь в виду, что исчислять показатели необходимо по отношению к одному и тому же – базисному году.

Задача 4. (сводные индексы). Известны следующие данные о реализации продовольственной продукции сельскохозяйственным кооперативом за два периода:

Продовольственная продукция	Реализовано	Цена за единицу, руб.	Расчетные графы (стоимость продукции, тыс. руб.)
Картофель, кг					96, 0	128, 8	110, 4
Молоко, л					145, 8	174, 4	196, 2
Яйцо, шт.			2, 4	2, 8	82, 2	91, 0	78, 0
Итого					324, 0	394, 2	384, 6

Определить сводные индексы стоимости продукции, физического объема и цен (по Пааше).

Р е ш е н и е:

1.Определяем сводный индекс стоимости продукции (выручки от продажи):

Стоимость продукции (выручка от продажи) в отчетном периоде увеличилась на 21, 7% (121, 7-100), что в абсолютном (денежном) выражении составило:

тыс. руб.

2. Определяем сводный индекс физического объема продукции:

В целом по кооперативу объем реализации продукции увеличился на 18, 7% (118, 7 – 100).

В абсолютном выражении увеличение стоимости за счет изменения объема реализации составило:

тыс. руб.

3. Определяем сводный индекс цен (по Пааше):

Полученный результат означает, что цены на продукцию кооператива в среднем повысились на 2% (102 – 100).

Остановимся несколько более подробнее на экономической сущности индекса цен. В этом индексе числитель - реальная величина, фактическая выручка, полученная от реализации продукции в отчетном периоде, а знаменатель - условная величина, показывающая, какой была бы выручка, при условии, что продукция в отчетном периоде продавалась бы по ценам базисного периода. Разность между ними тыс. руб. показывает, какую реально прибыль получил кооператив в отчетном периоде за счет изменения цен.

4. Проверяем увязку индексов и абсолютных изменений:

тыс. руб.,

что соответствует ранее полученным цифрам.

5. Определяем долю каждого фактора в общем абсолютном размере изменения результативного показателя:

· физического объема продукции

· изменения цен

Рассмотренный пример показывает, что для исчисления сводных индексов в агрегатной форме требуется следующая система данных или по всей исследуемой совокупности товаров (продукции), или данные в другой форме, позволяющие найти по каждой разновидности товаров (продукции).

Задача 5. (индексы средних величин). По акционерному обществу, состоящему из трех предприятий, известны данные о выпуске и себестоимости одноименной продукции в базисном и отчетном периодах (табл. 1).

Таблица 1

Номер предприятия	Базисный период	Отчетный период	Расчетные графы
Выпуск продукции	Себестоимость единицы продукции, руб.	Выпуск продукции	Себестоимость единицы продукции, руб.	, тыс. руб.	, тыс. руб	, тыс.руб
тыс. единиц	в долях к итогу	тыс. единиц	в долях к итогу
		0, 50			0, 40	14, 2		142, 0
		0, 30			0, 28	12, 5		87, 5
		0, 20			0, 32	9, 5		76, 0
		1, 00			1, 00			305, 5

Определить изменение средней себестоимости единицы продукции в целом по акционерному обществу (по совокупности трех предприятий) в отчетном периоде по сравнению с базисным в относительных величинах и в абсолютном (денежном) выражении.

Р е ш е н и е:

Оценку изменения средней себестоимости единицы продукции в целом по акционерному обществу произведем путем исчисления индексов переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

1.Определяем средние себестоимости единицы продукции в целом по трем предприятиям по формуле средней арифметической взвешенной:

· средняя себестоимость в базисном периоде

руб.;

или

руб.;

· средняя себестоимость в отчетном периоде

руб.;

или

руб.;

· средняя себестоимость условная (продукция отчетного периода по базисной себестоимости)

руб.;

или

руб.

2. Сопоставляя средние себестоимости единицы продукции в отчетном и базисном периодах, получаем индекс себестоимости переменного состава:

(или 91, 2%),

т.е. средняя себестоимость единицы продукции снизилась на 8, 8% (91, 2 – 100), что в абсолютном выражении составило руб.

Если бы выпуск продукции по отдельным предприятиям оставался без изменения или изменился всюду пропорционально, т.е. если бы удельный вес каждого предприятия в выпуске продукции оставался неизменным, то тогда, очевидно, снижение средней себестоимости на 8, 8% можно было бы объяснить только снижением себестоимости на каждом предприятии. Фактически же в нашем примере менялась не только себестоимость на каждом предприятии, но и удельный вес каждого предприятия в общем выпуске продукции. Следовательно, снижение средней себестоимости на 8, 8% достигнуто за счет изменения двух факторов (z и q).

3. Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средних величин, рассчитаем индекс себестоимости постоянного состава, приняв в качестве фиксированной структуру выпуска отчетного периода :

(или 95, 2%),

т.е. средняя себестоимость единицы продукции только за счет изменения себестоимости на каждом отдельном предприятии снизилась на 4, 8% (95, 2 – 100). В абсолютном выражении это снижение составляет

руб.

4. Влияние структурного фактора на динамику средней себестоимости отразим с помощью индекса структурных сдвигов:

(или 95, 8%).

Данный результат означает, что на 4, 2% (95, 8 – 100) средняя себестоимость снизилась за счет структурного фактора, в частности за счет увеличения доли продукции на 3-м предприятии с более низкой себестоимостью и за счет уменьшения доли выпуска на 1-м предприятии с более высокой себестоимостью. В абсолютном выражении это снижение составляет

руб.

5. Проверяем увязку в систему индексов и абсолютных изменений:

руб.,

что и соответствует ранее полученным цифрам.

Таким образом, средняя себестоимость единицы продукции в целом по акционерному обществу (по совокупности трех предприятий) снизилась на 1 рубль 18 копеек, в том числе за счет снижения себестоимости на отдельных предприятиях на 62 коп., и за счет структурных изменений на 56 коп.

II. Варианты контрольных заданий

Вариант № 1

Задача 1. Известны данные о стоимости годового выпуска продукции и среднегодовой стоимости основных производственных фондов по ряду предприятий отрасли:

Применяя к исходным данным метод аналитической группировки, выявить характер связи между стоимостью основных фондов, объемом выпуска продукции и средней фондоотдачей (стоимостью продукции в рублях, приходящейся на 1 рубль основных фондов).

При группировке по факторному признаку (стоимости основных фондов) выделить три группы предприятий с равными закрытыми интервалами. Величину интервала округлять в верхнюю сторону до ближайшего числа кратного 100.

В заключение сделать обоснованные выводы: о структуре рассмотренной совокупности предприятий по стоимости основных фондов; о наличии и характере связи между стоимостью основных фондов, объемом выпускаемой продукции и фондоотдачей.

Методические указания. Результаты группировки отразить в следующей итоговой статистической таблице: