Формула полной вероятности

Теорема. Пусть событие A может наступить лишь при появлении только одного из событий , образующих полную группу событий. Тогда вероятность появления события A определяется следующим образом:

(5.1)

Доказательство. По условию событие A может произойти только с одним из событий . Поэтому

. (5.2)

Так как образуют полную группу, то они попарно несовместны. Следовательно, попарно несовместны и слагаемые в сумме (5.2). Поэтому, в силу теоремы 2 предыдущего параграфа и равенства (5.2)

. (5.3)

А по теореме 5 предыдущего параграфа для каждого имеем

. (5.4)

Подставив правые части (5.4) в соотношение (5.3), получим формулу (5.1). ■

Формула (5.1) называется формулой полной вероятности, а события называются гипотезами.

Следствие. Если H и – противоположные гипотезы, то

.

В силу теоремы 5 предыдущего параграфа

. (5.5)

или

.

Заменив вероятность P (A) выражением (5.1), получим равенства

, i = 1, 2, …, n. (5.6)

Равенства (5.6) называются формулами Байеса. Эти формулы позволяют переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже проведённого испытания (то есть событие A уже наступило). Другими словами, формулы Байеса позволяют получить апостериорные оценки вероятностей гипотез при принятых априорных оценках этих вероятностей.

Пример 1. На склад поступают детали с двух конвейеров. Первый конвейер даёт в среднем 0, 2 % брака, второй – 0, 1 %. Известно, что с первого конвейера поступило 2 000 деталей, а со второго – 3 000 деталей. Случайным образом выбирается одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь – с первого конвейера, через – со второго конвейера. A – событие, состоящее в том, что выбранная деталь окажется бракованной.

Вероятности событий и равны

; .

Условные вероятности и равны

; .

Согласно формуле полной вероятности (5.1), получим

.

Пример 2. Имеются две одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй – 6 белых и 4 чёрных. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что наудачу выбрана первая урна, – вторая урна. A – событие, состоящее в том, что выбранный шар окажется белым. Требуется вычислить вероятность гипотезы при условии, что событие A произошло.

Вероятности событий и равны

; .

Условные вероятности и равны

; .

Согласно формуле Байеса (5.6) при i = 1, получим

.

Задачи

29. Имеются три партии чипов, насчитывающие соответственно 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что чип проработает заданное время, равны соответственно для этих партий 0, 7; 0, 8 и 0, 9. Какова вероятность того, что наудачу выбранный чип из ста данных проработает заданное время?

30. Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2 чёрных и 3 белых шара, а вторая – 2 чёрных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается одна урна, а потом из неё извлекается наугад один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

31. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – только белые и в третьей – только чёрные. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

32. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 – с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0, 81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью 0, 46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

33. Литьё в болванках поступает из двух цехов: 70 % – из первого и 30 % – из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что одна, взятая наугад, болванка имеет дефект.

34. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0, 85; 0, 76 и 0, 71.Рабочий берёт случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом.

35. Имеются две одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй – 6 белых и 4 чёрных. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?

36. Каждый из 10 юношей набрасывает кольцо на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0, 6, для трёх других – 0, 5 и для остальных – 0, 3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы?

37. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй – 36 студентов и в третьей – 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математическому анализу отметку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе?

38. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 4 перворазрядника и 6 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0, 2; для второразрядника эта вероятность равна 0, 1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?