Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом Риттера

Условие. Методом Риттера определить усилия в стержнях 4, 5, 6, 7, 9 фермы, изображенной на рис. 2.1. Реакции опор фермы найдено в п. 2.1. Поэтому известны все внешние силы, действующие на свободную ферму:

Р₁ = 80 кН, Р₂ = 20 кН, Х_А = 20 кН, У_А = 60 кН, R_В = 20 кН.

а) чтобы найти усилия в стержнях 4, 5, 6, рассечем ферму по этим стержням (сечение I – I, рис. 2.3). Отбросим правую часть фермы и рассмотрим равновесие левой части фермы. Реакции разрезанных стержней будем направлять в сторону отброшенной части, т.е. будем считать все стержни растянутыми.

На рис. 2.4 изображена свободная левая часть фермы, которая находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил .

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

Неизвестные и найдем из уравнений равновесия: суммы моментов сил относительно точек Риттера К₄ и К₆ должны быть равны нулю. Неизвестную найдем из уравнения равновесия: сумма проекций сил на ось y равна нулю. Таким образом, каждая неизвестная будет найдена независимо от других неизвестных, что исключает возможные ошибки. Длины вертикального и горизонтальных стержней обозначим а. Имеем:

Подставив числовые данные: Х_А = 20 кН, У_А = 60 кН, Р₁ = 80 кН, Р₂ =

= 20 кН, cos 45^о = 0, 707, получим;

б) чтобы найти усилия в стержнях 6, 7, 9, выполним сечение II – II (рис. 2.3) по этим стержням. Отбросим левую часть фермы и рассмотрим равновесие правой части, т. к. к ней приложено меньше сил. На рис. 2.5 изображена свободная правая часть фермы (она практически состоит из одного стержня № 8), которая находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил .

Рисунок 2.5

Неизвестные найдем, составив уравнения равновесия в форме сумм моментов сил относительно точек Риттера К6, К7 и К9.

Подставив числовые данные: R_В = 20 кН, получим

Полученные в ответах знаки «плюс» или «минус» свидетельствуют о том, растянут стержень или сжат, так как мы предполагали на схемах сил, что все разрезанные стержни растянуты. Значения усилий в стержнях S_i заносим в таблицу ответов (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Сравнивая значения усилий в таблицах 2.2 и 2.3 убеждаемся, что они совпали.

Примечание. Аналитический метод Риттера позволяет определить усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в прочих стержнях. В этом заключается его преимущество перед графическими методами, где для нахождения усилия в одном стержне требуется найти усилия в других стержнях, которые сходились в предыдущих узлах.

2.4 Определение усилий в стрежнях фермы с помощью диаграмм Максвелла – Кремоны

Условие. Определить усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 2.6. К узлам фермы приложены силы: Р₁ = 80 кН, Р₂ = 20 кН. Реакции опор в точках А и В найдены в п. 2.1. Х_А = 20 кН, У_А = 60 кН, R_В = 20 кН.

Рисунок 2.6

Воспользуемся методикой и алгоритмом определения усилий в стержнях с помощью диаграммы Максвелла–Кремоны, изложенными в п. 1.4:

а) все силы, действующие на свободную ферму, переименовываем , , , , . Номер силам ставим обходя ферму по часовой стрелке (рис. 2.7). Обозначим части плоскости вне фермы между линиями действия сил буквами а, b, c, d, e. Таким образом, каждая сила в дальнейшем будет называться буквами тех областей плоскости, границей которых она является. Например, сила , сила

Рисунок 2.7

б) строим замкнутый силовой многоугольник, откладывая силы в выбранном масштабе в том порядке, в каком мы их встречаем, обходя фермы по часовой стрелке. Начнем построение силового многоугольника, отражающего геометрическую форму условий равновесия фермы под действием системы сил , из силы . Из точки а (рис. 2.8) откладываем вектор , длина которого равно 20 мм, т.к. величина силы равна 20 кН. Из точки b проводим вектор , из точки с вектор , из точки d – вектор и из точки е – вектор .

Таким образом, векторный многоугольник соответствует условию ;

Рисунок 2.8

в) тогда силовой многоугольник для фермы в целом построен, приступаем к построению силовых многоугольников для каждого узла. Для этого обозначим области плоскости, находящиеся между стержнями, так: n, g, k, m (рис. 2.7). Мысленно вырезаем каждый узел и, обходя его по часовой стрелке, строим силовой многоугольник. Начнем с узла, в котором сходятся два стержня, например, с узла I. Далее пронумеруем узлы в том порядке, в котором будем их рассматривать: I, II, III, IV, V, VI. Построение силового многоугольника для узла I начинаем с известных сил и . С точки с проводим прямую параллельную стержню сn, а с точки а – прямую параллельную стержню na. То есть замкнутый многоугольник abcna соответствует геометрическому условию равновесия узла І. Мысленно продолжим «течение» стрелок в одну сторону и установим, что стержень сn сжат, т.к. реакция стержня направлена к узлу I, стержень nа растянут, так как реакция его направлена от узла I.

Измерив длину отрезков сn и nа, получим численные значения усилий в этих стержнях кН, кН. Знаки «–» и «+» означают: стержень сn сжат, стержень na растянут.

Точно так же, обходя узел II по часовой стрелке, встречаем области n и с (на диаграмме уже есть этот отрезок); дальше встречаем после области с область g, поэтому из точки с проводим прямую, параллельную стержню c g, а затем из точки n проводим прямую, параллельную стержню na. Имеем: замкнутый треугольник ncgn отражает геометрическую форму условия равновесия узла II; стержень cg сжат, стержень gn – растянут. кН, кН.

Узел III начинаем обходить с области е, т.к. сила уже на диаграмме есть, силы и также есть на диаграмме. Осталось достроить из точки g прямую параллельную стержню gk, а из точки е – прямую, параллельную стержню kе. Имеем: замкнутый пятиугольник eangke отражаем условие равновесия узла III. Измерив отрезки gk и kе, мысленно расставив стрелки, получим усилия в этих стержнях кН, кН.

Обходим узел IV, начиная с точки е. Мы уже имеем линию еk. Дальше из точки k проводим прямую, параллельную стержню km, а из точки е – прямую, параллельную стержню me. Вместо треугольника сил, получаем прямую еk, me, т.е. точки k и m совпали, значит усилие в стержне km равно нулю, а усилие в стержне me равно усилию в стержне еk. Расставив мысленно стрелки имеем: стержень еk растянут, стержень me тоже растянут. кН.

Обходим узел V, начиная с области m, ; силы kg, gc, cd уже есть на диаграмме; осталось провести прямую, параллельную стержню dm и убедиться в том, что стержень dm сжат, а усилие в нем равно кН.

Нет необходимости рассматривать равновесие узла VI, т.к. усилия в стержнях, который образовали этот узел, уже известны. Найденные значения усилий заносим в таблицу ответов (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Как видим, ответы таблицы 2.2 и таблицы 2.4 полностью совпадают.

Вывод. Для реализации метода определения усилий в стержнях фермы с помощью диаграммы Максвелла–Кремоны достаточно:

– иметь выполненную в масштабе расчетную схему фермы с указанием приложенных к свободной ферме внешних нагрузок;

– построить с указанием направлений сил замкнутый силовой многоугольник внешних сил, действующих на свободную ферму;

– применить геометрическое условие равновесие сходящейся плоской системы сил, приложенных к каждому узлу, т.е. построить замкнутые многоугольники этих сил.