Статически определимые фермы

Статическую определимость фермы определим, установив соответствие количества уравнений равновесия, которые можно составить для n узлов, и количества неизвестных. Заметим, что для фермы в целом, как для неизменяемой системы, можно составить три уравнения равновесия плоской произвольной системы сил. Поэтому неизвестных составляющих реакций связей должно быть три.

Кроме трех неизвестных реакций внешних связей, нужно определить усилия в стержнях. Выясним, сколько независимых уравнений равновесия можно составить для определения неизвестных усилий в стержнях. Для этого воспользуемся методом вырезания узлов.

На каждый вырезанный узел фермы будет действовать плоская система сходящихся сил. Поэтому должно выполняться для каждого узла два уравнения равновесия, а для n узлов – 2n уравнений равновесия. В эти уравнения входят три неизвестные реакции связей и внутренние усилия в стержнях. Значит, можно определить (2n – 3) неизвестных усилий. Имеем: если число стержней , усилия могут быть определены из уравнений статики и ферма будет статически определимой.

Таким образом, для плоской фермы условие жесткости фермы (1.1) является и условием статической определимости фермы. Простые фермы являются статически определимыми.

Существует три основных метода определения усилий в стержнях статически определимой фермы:

а) графический метод построения диаграммы Максвелла – Кремоны (п. 1.4 и п. 2.4);

б) графо-аналитический метод вырезания узлов (п. 2.2);

в) аналитический метод сечений Риттера (п. 2.3).

При этом учтем, что формально условия равновесия всех узлов содержат в себе условия равновесия фермы в целом, т.е. позволяют найти и реакции внешних опор фермы. Вместе с тем, предварительное определение внешних реакций существенно упрощает решение задачи об усилиях в стержнях фермы.

1.4 Графический метод расчета фермы Максвелла – Кремоны

Требуется определить усилия в стержнях свободной фермы, находящейся в равновесии под действием уравновешенной системы сил (рис. 1.12): .

Пронумеруем стержни цифрами 6, 7, …, 12. Ферму изобразим в масштабе, обеспечив пропорциональность размеров и правильность углов наклона стержней и внешних сил. Применим метод вырезания узлов, т. е. за объекты изучения берем каждый узел. Реакции стержней, которые образовывали этот узел, обозначим буквой R со значком, соответствующим номеру стержня.

Начинать вырезать узлы необходимо с узла, образованного двумя стержнями. Тогда неизвестных реакций стержней будет две, которые определятся из условия равновесия плоской системы сходящихся сил: многоугольник, построенный на силах, приложенных к узлу, должен быть замкнут.

В данном примере можно начать с узла А или с узла D. Мысленно представим себе вырезанным узел А. К нему приложены силы: известная сила и неизвестные реакции и . Строим силовой треугольник, начиная с известной силы . Откладываем в выбранном масштабе силу (рис. 1.13). Из конца вектора проводим линию, параллельную стержню 6, а из начала – линию, параллельную стержню 7.

В построенном силовом треугольнике направление силы определяет направление реакций стержней и на узел А, т. к. стрелки в замкнутом многоугольнике «текут» (как вода в трубе) в одном направлении.

Зная , можно перейти к рассмотрению равновесия узла В, т.к. число новых неизвестных реакций стержней ( и ) теперь равно двум. Заметим, что согласно аксиоме равенства действия противодействия, реакция стержня 6 на узел В противоположно направлена реакции стержня 6 на узел А. Обозначим ее и отложим на рис. 1.14. Условимся обходить все узлы по часовой стрелке, начиная с известной силы. Обходя узел В по часовой стрелке, после стержня 6 встречаем силу . Откладываем силу в масштабе из конца силы . Из конца силы проводим прямую параллельную стержню 9, а из начала силы проводим прямую, параллельную стержню 8. Стрелки для сил и диктуются направлением двух предыдущих сил и .

Рисунок 1.12
Рисунок 1.13	Рисунок 1.14
Рисунок 1.15	Рисунок 1.16
Рисунок 1.17	Рисунок 1.18

Следующим может быть узел С, так как к нему приложены две новые неизвестные реакции стержней и .Реакцию стержня 9 на узел С обозначим и отложим на рисунке 1.15 противоположно силе из рисунка 1.14. С конца силы откладываем в масштабе силу . Из конца силы проводим линию параллельную стержню 12, а из начала силы проводим линию параллельную стержню 10. Стрелки для сил и диктуются условием замкнутости силового многоугольника сил , , , . Аналогично строим силовые многоугольники для узла D (рис. 1.16) и узла Е (рис. 1.17).

Заметим, что на силовых многоугольниках, изображенных на рисунках 1.13–1.17, мы имеем реакции стержней на соответствующий узел. Выясним, как узел действует на каждый стержень.

Рисунок 1.19	Например, объект изучения – невесомый стержень 6 (рис.1.19). На него со стороны узлов А и В, согласно аксиоме равенства действия – противодействия, действуют силы и . Как видим, стержень 6 под действием сил и будет сжат.   Если объект изучения невесомый стержень 7, имеем схему сил, изображенную на рисунке 1.20. На него со стороны узлов А и Е действуют силы и ; стержень 7 растянут.
Рисунок 1.20

Вывод. Если реакция стержня на узел направлена от узла – стержень растянут, если к узлу – стержень сжат.

Описанный способ «вырезания узлов» простой, но громоздкий и неудобный при практическом построении, так как линии реакций стержней пришлось строить дважды. Силовых многоугольников приходится строить столько, сколько узлов в ферме. Этот способ соответствует накоплению чертежных ошибок.

Поэтому является естественной мысль собрать все разрозненные рисунки в одну компактную диаграмму, что и сделано на рис. 1.18. Отдельные силовые многоугольники передвинуты так, что попарно встречающиеся реакции стержней совпадают. Чтобы получить эту диаграмму, не содержащую лишних линий, надо придерживаться определенного порядка построения.

Алгоритм действий при построении диаграммы Максвелла – Кремоны:

а) вычерчиваем все внешние силы (активные и реакции опор) вне контура фермы. Строим для этих сил замкнутый силовой многоугольник. При этом силы откладываем (в масштабах) в том же порядке, в каком мы их встречаем, обходя кругом фермы по ее контуру (например, по часовой стрелке, как на

рис. 1.18 – многоугольник ).

б) когда многоугольник внешних сил вычерчен, приступаем к вырезанию узлов, начиная с того узла, в котором встречается не более двух стержней с не определенными из предшествующего построения усилиями.

Внимание:

– последовательность, в которой мы откладываем силы на силовом многоугольнике для каждого узла, должна соответствовать той

последовательности, в которой силы рассоложены на ферме вокруг этого узла.

При соблюдении этих правил каждая внешняя сила и каждое усилие будет встречаться на диаграмме только один раз;

– на диаграмме стрелки реакций стержней на узлы не ставим, так как они имеют два направления в зависимости от того, к какому узлу отнести эту реакцию стержня;

– численное значение усилий получаем умножением длины соответствующего отрезка диаграммы на масштабный коэффициент. Чтобы выяснить знак реакции стержня на узел (а, значит, сжат или растянут стержень) надо мысленно обойти конкретный узел и мысленно «расставить» стрелочки в соответствующем многоугольнике фрагмента диаграммы.

в) найденные значения и знаки усилий в стержнях заносим в итоговую таблицу.

В пункте 2.4. проиллюстрируем сказанное выше примером.

1.5 Аналитический метод сечений Риттера