Преобразование и построение Матриц

Пример 1.

Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы строятся по следующей формуле , где область указана рисунке.

В задачах о выделении областей в матрицах необходимо научиться записывать уравнения изменения индексов при движении по линиям, параллельным главной диагонали, и по линиям, перпендикулярным диагонали.

Запишем уравнение линий (1) и (2), проходящих через фиксированную точку (i, j). Пусть изменяемые индексы – l и k. Тогда уравнение прямой (1) (см. рис.1) имеет вид: l = j – i + k, а прямая (2) описывается соотношением: l = j + i - k. Области изменения индексов показаны на рисунке. Если необходимо описать заштрихованную область, то это следует делать так, как это делается при описании областей на плоскости. Легко видеть, что индекс k изменяется в пределах от 1 до i. Индекс l удовлетворяет неравенству 1 £ l £ n. Область выше линии (1) описывается неравенством l > j – i + k, а область выше линии (2) - l < j + i - k. Так как указанная область является пересечением указанных областей, то все перечисленные выше неравенства следует соединять в логическом выражении союзом «и». Таким образом, при построении матрицы В следует воспользоваться четырьмя вложенными циклами, где два внешних описывают индексы матрицы В, то есть изменяются от 1 до n. Что касается двух внутренних циклов, то индекс k изменяется от 1 до i, а индекс l изменяется в пределах от прямой (1) до прямой (2). Ограничения 0 и n следует внести в условие оператора if. Схематически структуру циклов можно изобразить так:

i =1 ¸ n

j =1 ¸ n

k = 1 ¸ i

l = j – i + k ¸ j + i – k

1 £ l £ n

Конец цикла по l

Конец цикла по k

Конец цикла по j

Конец цикла по i

Программа решения этой задачи и результаты ее выполнения представлены ниже.

#include < stdio.h>

#include < conio.h>

#define m 6

void main()

{ int i, j, k, l, n;

float a[m][m], b[m][m];

clrscr();

gotoxy(5, 5); printf(" ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ");

gotoxy(5, 6); printf(" b(i, j)=max a(k, l), k, l принадлежат");

gotoxy(9, 7); printf(" заштрихованной области");

gotoxy(35, 10); printf(" ┌ ┐ ");

gotoxy(35, 11); printf(" │ * * * * * * * * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 12); printf(" │ * * * * * * * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 13); printf(" │ * * * * * * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 14); printf(" │ * * * * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 15); printf(" │ * * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 16); printf(" │ * * * * * │ ");

gotoxy(35, 17); printf(" │ * * * │ ");

gotoxy(35, 18); printf(" │ * │ ");

gotoxy(35, 19); printf(" │ │ ");

gotoxy(35, 20); printf(" │ │ ");

gotoxy(35, 21); printf(" │ │ ");

gotoxy(35, 22); printf(" └ ┘ ");

getchar(); clrscr();

do{

printf(" \n\nВведите размерность матрицы < =%d ", m);

scanf(" %d", & n);

}while(! (n> 0 & & n< =m)); clrscr();

for (i=1; i< =n; i++)

for (j=1; j< =n; j++){

printf(" Введите a(%d, %d)=", i, j); scanf(" %f", & a[i-1][j-1]);

}

clrscr();

printf(" ИСХОДНАЯ МАТРИЦА\n");

for (i=1; i< =n; i++){

for (j=1; j< =n; j++)

printf(" %7.2f", a[i-1][j-1]);

printf(" \n");

}

for (i=1; i< =n; i++)

for (j=1; j< =n; j++){

b[i-1][j-1]=-1.e20;

for (k=1; k< =n; k++)

for (l=j-i+k; l< =j+i-k; l++)

if (l> =1 & & l< =n & & a[k-1][l-1]> b[i-1][j-1])

b[i-1][j-1]=a[k-1][l-1];

}

printf(" ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА\n");

for (i=1; i< =n; i++){

for (j=1; j< =n; j++)

printf(" %7.2f", b[i-1][j-1]);

printf(" \n");

}

getchar(); getchar();

}

При выполнении данной программы на экране монитора будет выведено следующее:

ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ

b(i, j)=max a(k, l), k, l

принадлежат заштрихованной области

┌ ┐

│ * * * * * * * * * * * * * │

│ * * * * * * * * * * * * │

│ * * * * * * * * * * * │

│ * * * * * * * * * │

│ * * * * * * * │

│ * * * * * │

│ * * * │

│ * │

│ │

│ │

│ │

└ ┘

Введите размерность матрицы < =6 4

Введите a(1, 1)= 1.00

Введите a(1, 2)= 4.00

Введите a(1, 3)= 2.00

Введите a(1, 4)= -3.60

Введите a(2, 1)= 8.90

Введите a(2, 2)= -22.10

Введите a(2, 3)= 5.00

Введите a(2, 4)= 0.78

Введите a(3, 1)= -3.45

Введите a(3, 2)= 2.40

Введите a(3, 3)= 9.80

Введите a(3, 4)= 6.12

Введите a(4, 1)= -23.50

Введите a(4, 2)= 1.00

Введите a(4, 3)= 7.00

Введите a(4, 4)= 89.00

ИСХОДНАЯ МАТРИЦА

1.00 4.00 2.00 -3.60

8.90 -22.10 5.00 0.78

-3.45 2.40 9.80 6.12

-23.50 1.00 7.00 89.00

ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА

1.00 4.00 2.00 -3.60

8.90 4.00 5.00 2.00

8.90 8.90 9.80 6.12

8.90 9.80 9.80 89.00

Пример 2.

Пусть задана матрица A, размерностью n x n. Необходимо построить матрицу В, причем элементы матрицы строятся по следующей формуле , где область указана рисунке. Область в этом случае следует описать сначала по l, так как этот индекс изменяется в пределах от j до n. Следовательно, внутренние циклы будут: сначала по l от j до n, а затем цикл по k от j+i-l до l-j+i. Так как ищется минимум, то начальное значение следует выбрать достаточно большим. Текст программы и результаты ее работы представлены ниже.

#include < stdio.h>

#include < conio.h>

#define m 6

void main()

{ int i, j, k, l, n;

float a[m][m], b[m][m];

clrscr();

gotoxy(5, 5);

printf(" ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ");

gotoxy(5, 6);

printf(" b(i, j)=min a(k, l), k, l принадлежат");

gotoxy(9, 7);

printf(" заштрихованной области");

gotoxy(35, 10); printf(" ┌ ┐ ");

gotoxy(35, 11); printf(" │ │ ");

gotoxy(35, 12); printf(" │ * │ ");

gotoxy(35, 13); printf(" │ * * │ ");

gotoxy(35, 14); printf(" │ * * * │ ");

gotoxy(35, 15); printf(" │ * * * * │ ");

gotoxy(35, 16); printf(" │ * * * * * │ ");

gotoxy(35, 17); printf(" │ * * * * * * │ ");

gotoxy(35, 18); printf(" │ * * * * * │ ");

gotoxy(35, 19); printf(" │ * * * * │ ");

gotoxy(35, 20); printf(" │ * * * │ ");

gotoxy(35, 21); printf(" │ * * │ ");

gotoxy(35, 22); printf(" │ * │ ");

gotoxy(35, 23); printf(" └ ┘ ");

getchar(); clrscr();

do{

printf(" \n\nВведите размерность матрицы < =%d ", m);

scanf(" %d", & n);

}while(! (n> 0 & & n< =m)); clrscr();

for (i=1; i< =n; i++)

for (j=1; j< =n; j++){

printf(" Введите a(%d, %d)=", i, j); scanf(" %f", & a[i-1][j-1]);

}

clrscr();

printf(" ИСХОДНАЯ МАТРИЦА\n");

for (i=1; i< =n; i++){

for (j=1; j< =n; j++)

printf(" %7.2f", a[i-1][j-1]);

printf(" \n"); }

for (i=1; i< =n; i++)

for (j=1; j< =n; j++){

b[i-1][j-1]=1.e20;

for (l=j; l< =n; l++)

for (k=j+i-l; k< =l-j+i; k++)

if (k> =1 & & k< =n & & a[k-1][l-1]< b[i-1][j-1])

b[i-1][j-1]=a[k-1][l-1]; }

printf(" ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА\n");

for (i=1; i< =n; i++){

for (j=1; j< =n; j++)

printf(" %7.2f", b[i-1][j-1]);

printf(" \n"); }

getchar(); getchar(); }

При выполнении данной программы на экране монитора будет выведено следующее:

ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ПО ЗАДАННОЙ

b(i, j)=min a(k, l), k, l принадлежат заштрихованной области

┌ ┐

│ │

│ * │

│ * * │

│ * * * │

│ * * * * │

│ * * * * * │

│ * * * * * * │

│ * * * * * │

│ * * * * │

│ * * * │

│ * * │

│ * │

└ ┘

Введите размерность матрицы < =6 4

Введите a(1, 1)= 2.50

Введите a(1, 2)= 3.80

Введите a(1, 3)=-2.28

Введите a(1, 4)= 4.00

Введите a(2, 1)= 6.21

Введите a(2, 2)= 9.80

Введите a(2, 3)=-3.54

Введите a(2, 4)= 6.00

Введите a(3, 1)= 1.34

Введите a(3, 2)= 6.80

Введите a(3, 3)=-2.13

Введите a(3, 4)= 5.00

Введите a(4, 1)= 4.00

Введите a(4, 2)= 8.12

Введите a(4, 3)= 5.00

Введите a(4, 4)= 3.00

ИСХОДНАЯ МАТРИЦА

2.50 3.80 -2.28 4.00

6.21 9.80 -3.54 6.00

1.34 6.80 -2.13 5.00

4.00 8.12 5.00 3.00

ПОЛУЧЕННАЯ МАТРИЦА

-3.54 -3.54 -2.28 4.00

-3.54 -3.54 -3.54 6.00

-3.54 -3.54 -2.13 5.00

-3.54 -2.13 3.00 3.00

Пример 3. Дан одномерный массив целых чисел Р размерностью 64. Получить квадратную матрицу порядка 8, элементами которой являются числа массива Р, расположенные в ней по схеме, приведенной на рисунке.

Эта задача решается с помощью одного основного цикла, в котором организуется управление изменением индексов в зависимости от условий размещения элементов. Для отслеживания направления движения по диагонали вводится вспомогательная переменная l. Ее значение равно 0 при движении вниз по диагонали и 1 при движении вверх.

#include< stdio.h>

#include< math.h>

#include< conio.h>

void main()

{ clrscr();

float p[64];

float a[8][8];

int n=8, i=0, j=0, k, l=0;

for (k=0; k< n*n; k++)

p[k]=k;

for (k=0; k< n*n; k++)

{ a[i][j]=p[k];

if (j==0 & & i< n-1 & & l==0)

{ i++; l=1; }

else if (i==0 & & j< n-1 & & l==1)

{ j++; l=0; }

else if (j==n-1 & & l==1)

{ i++; l=0; }

else if (i==n-1 & & l==0)

{ j++; l=1; }

else if (l==0)

{ i++; j--; }

else

{ i--; j++; }

}

for (i=0; i< n; i++)

{ for (j=0; j< n; j++)

printf(" %3.0f ", a[i][j]);

printf (" \n");

}

}