Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Волгоград 2011

    Министерство образования и науки Российской Федерации

    Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

    Кафедра высшей математики

    Введение в математический анализ.

    Производная и ее приложения

    Методические указания и индивидуальные задания

    К контрольной работе №2

     

    Волгоград 2011

     

    УДК 517(076.5)

    Введение в математический анализ. Производная и ее приложения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, А.П. Поздняков, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2011. — 18 c.

    Содержатся краткие теоретические сведения, решения типовых примеров, индивидуальные задания.

    Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех специальностей техники и технологии по дисциплине " Математика".

    Библиогр. назв. 3

     


     

    основные теоретические сведения
    и решение типовых примеров

    1. Предел функции

    1.1. Основные определения

    Пусть — функция непрерывного аргумента х и пусть х неограниченно приближается к хо. При этом говорят, что х стремится к хо и пишут .

    Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к положительной бесконечности и пишут . Если х неограниченно убывает, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и пишут . Аргумент функции, изменяющийся таким образом, называют бесконечно большим.

    Пусть функция определена в некоторой окрестности точки хо, исключая, быть может, эту точку.

    Определение 1. Число А называется пределом функции при , если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от числа хо, значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Коротко это записывают так:

    .

    Если аргумент функции бесконечно большой, то пишут:

    или .

    Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . При этом пишут:

    .

    Если бесконечно большая функция при принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут соответственно или .

    Определение 3. Функция называется бесконечно малой величиной при , если .

    1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов)

    Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой величине:

    . (1)

    Теорема 2. Если при функция бесконечно большая величина, то — бесконечно малая величина; если — бесконечно малая величина, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности точки хо, то — бесконечно большая величина.

    Символически это можно записать так:

    если , то ;

    если , то .

    Теорема 3. Пусть существуют конечные пределы и , тогда функции , , также имеют пределы и справедливы формулы:

    , (2)

    , (3)

    , (4)

    (если В ¹ 0). (5)

    Замечание 1. Формулы (2) и (3) справедливы для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций.

    Теорема 4. Если k — любое натуральное число, то

    (6)

    Теорема 5 (первый замечательный предел). Функция при имеет предел, равный 1:

    . (7)

    Справедливы также формулы:

    , , .

    Пример 1. Вычислить

    Решение. Применяя теоремы о пределах (формулы 1, 2, 4, 6), получим:

    Пример 2. Найти

    Решение. Пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю:

    , .

    Пользуясь теоремой о пределе частного (формула 5), получаем:

    Пример 3. Вычислить

    Решение. По формуле (5) находим

    Пример 4. Найти

    Решение. Предел знаменателя равен 0 и применять теорему о пределе частного нельзя. Так как знаменатель есть бесконечно малая величина при , то по теореме 2 обратная величина есть бесконечно большая и Поэтому

    Пример 5. Найти

    Решение. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен 0, и предел числителя здесь также равен 0. В этом случае говорят о неопределенности вида ( — символическая запись отношения двух бесконечно малых величин) и вычисление предела сводится к раскрытию этой неопределенности.

    Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, то есть перенесем иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и перейдем к пределу:

    Здесь сокращение на х законно, так как условие предполагает .

    Пример 6. Найти

    Решение. Непосредственная подстановка значения х =4 в заданную функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на произведение и затем сократим дробь на множитель (4- х), полагая х ¹ 4:

    Пример 7. Найти

    Решение. Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае говорят о неопределенности вида . Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на х 3, а затем перейдем к пределу:

    Здесь функции , и являются бесконечно малыми при и их пределы равны 0.

    Пример 8. Найти

    Решение. Имеем неопределенность вида . Раскроем ее, используя первый замечательный предел (теорема 5). Для этого преобразуем даное выражение и по формуле 7 получим:

    2. Производная

    2.1. Понятие производной

    Определение 4. Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю.

    Для обозначения производной используют символы , , .

    Таким образом, по определению .

    Нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке.

    2.2. Производные основных элементарных функций

    В любой точке области определения основных элементарных функций справедливы формулы:

    (xn)¢ = n× xn 1, в частности ; (8)

    (ax)¢ = ax × ln a, в частности (ex)¢ = ex; (9)

    , в частности ; (10)

    (sin x)¢ = cos x; (11)

    (cos x)¢ = sin x; (12)

    ; (13)

    ; (14)

    ; (15)

    ; (16)

    ; (17)

    . (18)

    2.3. Правила вычисления производных

    Пусть функции и дифференцируемы в точке х и С — постоянная величина. Тогда:

    С¢ = 0; (19)

    (С∙ U)¢ = С× U ¢; (20)

    (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢; (21)

    (U × V)¢ = V∙ U ¢ + U∙ V ¢; (22)

    , V ¹ 0. (23)

    Пример 9. Найти если .

    Решение. Используя формулы (21, 20, 9, 8) получим:

    .

    Пример 10. Найти производную функции .

    Решение. .

    Здесь использованы формулы (22, 10, 8).

    Пример 11. Найти производную функции .

    Решение. Производную частного находим по формуле (23):

    .

    2.4. Производная сложной функции

    Если y является функцией от u, а u зависит от x, то y также зависит от x. Пусть , а . Тогда функция называется функцией от функции или сложной функцией переменной х. Переменная u называется промежуточным аргументом, а х — основным.

    Теорема 6. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в соответствующей точке u, то сложная функция дифференцируема в точке x и справедлива формула:

    .

    Правило дифференцирования сложной функции может быть записано в другой форме:

    , (24)

    здесь индексы u и x указывают, по какой переменной берется производная.

    Пример 12. Найти производную функции .

    Решение. Данную функцию можно представить в виде , . Найдем ; . Тогда по формуле (24):

    .

    Замечание. Если число простейших функций, из которых составлена сложная функция, больше двух, то ее производная вычисляется последовательным применением формулы (24).

    Пример 13. . Вычислить .

    Решение. .

    2.5. Производная неявной функции

    Определение 5. Функция называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением

    , (25)

    не разрешенным относительно y.

    Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (25) продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное уравнение разрешить относительно .

    Пример 14. Найти производную функции , заданной уравнением .

    Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х, учитывая, что y есть функция от х:

    .

    Из полученного уравнения находим :

    .

    3. Исследование функции с помощью производной

    3.1. Возрастание и убывание функций

    Определение 6. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух значений х 1 и х 2 из этого интервала при х 2 > х 1.

    Определение 7. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух значений х 1 и х 2 из этого интервала при х 2 > х 1.

    Интервалы возрастания и убывания функции называются интерваламимонотонности функции.

    Теорема 7 (Достаточный признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках некоторого интервала выполняется условие , то в этом интервале функция f (x) возрастает, если же во всех точках некоторого интервала , то функция убывает в этом интервале.

    Замечание. Теорема остается справедливой, если производная обращается в нуль в отдельных точках интервала, не заполняющих никакого отрезка.

    3.2. Экстремумы функций

    Определение 8. Точка х о называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки х о выполняется неравенство .

    Определение 9. Точка х о называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки х о выполняется неравенство .

    Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.

    Если функция имеет экстремум в точке х о, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Сформулированное условие называется необходимым условием существования экстремума.

    Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими точками (первого рода).

    Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным, так как наличие у функции критической точки вовсе не означает, что функция в этой точке обязательно достигает экстремума.

    Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если х о— критическая точка функции и при переходе через х о производная меняет знак с плюса на минус, то х о является точкой максимума функции, а если с минуса на плюс, то х о — точка минимума.

    3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

    Определение 10. График функции называется выпуклым в некотором интервале, если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.

    Определение 11. График функции называется вогнутым в некотором интервале, если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.

    Теорема 9 (достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой). Если во всех точках некоторого интервала , то в этом интервале график функции вогнутый, если , то график функции выпуклый.

    Определение 12. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

    Необходимое условие существования точки перегиба состоит в том, что если М о(x o, y o) — точка перегиба кривой, то вторая производная в точке x o равна нулю или не существует.

    Точки, в которых равна нулю или не существует называются критическими точками (второго рода).

    Теорема 10 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x o — критическая точка второго рода функции . Если при переходе через точку х о вторая производная меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х = х о является точкой перегиба.

    Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график.

    Решение. Функция определена и непрерывна в интервале . Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную и решим уравнение . Получим х 1=0, х 2=3. Это критические точки. Других критических точек у функции нет, так как производная существует на всей числовой оси.

    Точки х 1 = 0 и х 2 = 3 разбивают область существования функции на интервалы , , . В каждом из них функция монотонна и производная сохраняет свой знак.

    Для определения знака производной в каждом интервале выберем точки, например, х = -1, х = 1, х = 5 и найдем , , . По теореме 7 заключаем, что в интервалах и функция возрастает, а в интервале — убывает.

    Определим точки экстремума. По необходимому условию существования экстремума их следует искать среди критических точек первого рода.

    При переходе через точку х =0 производная знак не меняет, следовательно, по теореме 8 экстремума в ней нет.

    При переходе через точку х =3 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно в точке х =3 функция имеет максимум. Вычислим его: .

    Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого найдем .

    Полученная производная всюду существует, а в точках х =0 и х =2 обращается в нуль. Это и есть критические точки второго рода. Они разбивают область определения функции на интервалы , , .

    Возьмем какие-нибудь точки из этих интервалов, например, х =-1, х =1, х =5 и найдем , , .

    По теореме 9 заключаем, что в интервалах , кривая выпуклая, в интервале — вогнутая.

    Так как при переходе через точки х =0 и х =2 вторая производная меняет знак, то график функции имеет две точки перегиба с абсциссами х =0 и х =2 (теорема 10). Вычислим и . Следовательно точки (0, 0) и (2, ) — точки перегиба.

    Точки пересечения кривой с осью O х найдем из уравнения y =0, . Получим х =0 и х =4.

    По результатам исследования строим график функции (рис.1).

    Рис.1.

     

    ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

    Задание № 1. Найти пределы функций

    № 1. а) ; б) ; в) .

    № 2. а) ; б) ; в) .

    № 3. а) ; б) ; в) .

    № 4. а) ; б) ; в) .

    № 5. а) ; б) ; в) .

    № 6. а) ; б) ; в) .

    № 7. а) ; б) ; в) .

    № 8. а) ; б) ; в) .

    № 9. а) ; б) ; в) .

    № 10. а) ; б) ; в) 5 х ctg3 x.

    № 11. а) ; б) ; в) .

    № 12. а) ; б) ; в) .

    № 13. а) ; б) ; в) .

    № 14. а) ; б) ; в) .

    № 15. а) ; б) ; в) .

    № 16. а) ; б) ; в) .

    № 17. а) ; б) ; в) .

    № 18. а) ; б) ; в) .

    № 19. а) ; б) ; в) .

    № 20. а) ; б) ; в) х ctg3 x.

    № 21. а) ; б) ; в) .

    № 22. а) ; б) ; в) .

    № 23. а) ; б) ; в) .

    № 24. а) ; б) ; в) .

    № 25. а) ; б) ; в) .

    № 26. а) ; б) ; в) .

    № 27. а) ; б) ; в) .

    № 28. а) ; б) ; в) .

    № 29. а) ; б) ; в) .

    № 30. а) ; б) ; в) .

     

    Задание № 2. Найти производные данных функций

    № 1. а) у = ; б) у = sin45 x + cos45 x; в) х 2 у – ух = 5.

    № 2. а) у = ; б) у = (e cos x + 3)2; в) ln(x + y) = xy 2.

    № 3. а) у = ; б) у =ln sin(2 x + 5); в) х 2 – 6 у + у 3 = 5.

    № 4. а) у = 2 ; б) у = arctg ex; в) у sin x= cos(x + y).

    № 5. а) у = ; б) у = 2tg3(x 2+ 1); в) хеу + 1 – у = 0.

    № 6. а) у = ; б) у = ln2(3 x + 1); в) х – у + arctg y = 0.

    № 7. а) у = ; б) у = ; в) y ln x – x ln y = 1.

    № 8. а) у = ; б) у = ; в) х 3 + ху 2 + у 3 = 8.

    № 9. а) у = ; б) у = arctg tg2 x; в) у 2 1 = 2 ху.

    № 10. а) у = ; б) у = ln4(x 3 + 3); в) y sin x – cos y = 0.

    № 11. а) у = (1 + )3; б) у = tg2 x + ln cos x; в) еу – ху = 0.

    № 12. а) у = ; б) у = ln tg ; в) у = sin (x + 2 y).

    № 13. а) ; б) ; в) х – у + sin y = 0.

    № 14. а) ; б) ; в) .

    № 15. а) ; б) у= sin(x + sin x); в) еу + ху = е.

    № 16. а) ; б) ; в) arctg y = x+ y.

    № 17. а) ; б) ; в) 10 у = 8 х.

    № 18. а) ; б) ; в) 2 у ln y = x.

    № 19. а) ; б) ; в) .

    № 20. а) ; б) ; в) 2 у = 1 + ху3.

    № 21. а) ; б) ; в) cos (x + y) = x.

    № 22. а) ; б) ; в) .

    № 23. а) ; б) ; в) .

    № 24. а) ; б) ; в) .

    № 25. а) ; б) ; в) .

    № 26. а) ; б) ; в) .

    № 27. а) ; б) ; в) .

    № 28. а) ; б) ; в) .

    № 29. а) ; б) ; в) .

    № 30. а) ; б) ; в) .

    Задание № 3. Исследовать функцию и построить её график

    № 1. у = 1 + 2 х 2 .

    № 2. у = х 3 + .

    № 3. у = 9 х 2 (1 – х).

    № 4. у = .

    № 5. у = х 3 + 2 х 2 + 6 х.

    № 6. у = 2 х 4х 2 + 1.

    № 7. у = .

    № 8. у = (х 4 6 х 2 + 5).

    № 9. у = х 3 3 х 2 + 4.

    № 10. у = х 4–2 х 2 + 10.

    № 11. у = (х 3 – 6 х 2 36 х + 5).

    № 12. у = 2 + х 2.

    № 13. у = х 3 4 х + 7.

    № 14. у = (х 3 3 х 2 + 4).

    № 15. у = 2 х 3 3 х 2 12 х + 11.

    № 16. у = х 4 8 х 3 + 22 х 2 24 х.

    № 17. у = 36 х – 3 х 2 2 х 3.

    № 18. у = х 4 8 х 2 9.

    № 19. у = х 3 + 5 х 2 + 9 х – 2.

    № 20. у = 2 х 3 6 х 2– 18 х + 7

    № 21. у = х 4 + 4 х 3 2 х 2– 12 х + 5

    № 22. у = 2 х 3 3 х 2.

    № 23. у = (х – 1)2 (х + 2).

    № 24. у = 2 х 3 6 х 2 18 х+ 4.

    № 25. у = (х 3 6 х 2 + 25)

    № 26. у = х (2 – х)2.

    № 27. у = х 3 5 х 2 + 8 х.

    № 28. у = .

    № 29. у = х 2(4 – х)2.

    № 30. у = х 3 12 х 2 + 36 х.

     

     

    <== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
    Определение насыпной плотности | Мужчина, который не смеется




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.