Волгоград 2011

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра высшей математики

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения

Методические указания и индивидуальные задания

К контрольной работе №2

Волгоград 2011

УДК 517(076.5)

Введение в математический анализ. Производная и ее приложения: Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 / Сост. Н.А. Болотина, К.В. Катеринин, Р.К. Катеринина, А.П. Поздняков, И.П. Руденок; Волгогр. гос. архит. - строит. ун-т. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2011. — 18 c.

Содержатся краткие теоретические сведения, решения типовых примеров, индивидуальные задания.

Для студентов сокращенной формы обучения ИДО всех специальностей техники и технологии по дисциплине " Математика".

Библиогр. назв. 3

основные теоретические сведения
и решение типовых примеров

1. Предел функции

1.1. Основные определения

Пусть — функция непрерывного аргумента х и пусть х неограниченно приближается к х_о. При этом говорят, что х стремится к х_о и пишут .

Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к положительной бесконечности и пишут . Если х неограниченно убывает, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и пишут . Аргумент функции, изменяющийся таким образом, называют бесконечно большим.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х_о, исключая, быть может, эту точку.

Определение 1. Число А называется пределом функции при , если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от числа х_о, значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Коротко это записывают так:

.

Если аргумент функции бесконечно большой, то пишут:

или .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . При этом пишут:

.

Если бесконечно большая функция при принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут соответственно или .

Определение 3. Функция называется бесконечно малой величиной при , если .

1.2. Основные теоремы о пределах функций (правила вычисления пределов)

Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой величине:

. (1)

Теорема 2. Если при функция бесконечно большая величина, то — бесконечно малая величина; если — бесконечно малая величина, не обращающаяся в нуль в некоторой окрестности точки х_о, то — бесконечно большая величина.

Символически это можно записать так:

если , то ;

если , то .

Теорема 3. Пусть существуют конечные пределы и , тогда функции , , также имеют пределы и справедливы формулы:

, (2)

, (3)

, (4)

(если В ¹ 0). (5)

Замечание 1. Формулы (2) и (3) справедливы для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций.

Теорема 4. Если k — любое натуральное число, то

(6)

Теорема 5 (первый замечательный предел). Функция при имеет предел, равный 1:

. (7)

Справедливы также формулы:

, , .

Пример 1. Вычислить

Решение. Применяя теоремы о пределах (формулы 1, 2, 4, 6), получим:

Пример 2. Найти

Решение. Пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю:

, .

Пользуясь теоремой о пределе частного (формула 5), получаем:

Пример 3. Вычислить

Решение. По формуле (5) находим

Пример 4. Найти

Решение. Предел знаменателя равен 0 и применять теорему о пределе частного нельзя. Так как знаменатель есть бесконечно малая величина при , то по теореме 2 обратная величина есть бесконечно большая и Поэтому

Пример 5. Найти

Решение. Применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен 0, и предел числителя здесь также равен 0. В этом случае говорят о неопределенности вида ( — символическая запись отношения двух бесконечно малых величин) и вычисление предела сводится к раскрытию этой неопределенности.

Выполним тождественные преобразования, а именно, числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, то есть перенесем иррациональность в знаменатель. Потом сократим полученную дробь на х и перейдем к пределу:

Здесь сокращение на х законно, так как условие предполагает .

Пример 6. Найти

Решение. Непосредственная подстановка значения х =4 в заданную функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на произведение и затем сократим дробь на множитель (4- х), полагая х ¹ 4:

Пример 7. Найти

Решение. Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, так как числитель и знаменатель конечных пределов не имеют. В этом случае говорят о неопределенности вида . Для ее раскрытия числитель и знаменатель разделим на х ³, а затем перейдем к пределу:

Здесь функции , и являются бесконечно малыми при и их пределы равны 0.

Пример 8. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида . Раскроем ее, используя первый замечательный предел (теорема 5). Для этого преобразуем даное выражение и по формуле 7 получим:

2. Производная

2.1. Понятие производной

Определение 4. Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Для обозначения производной используют символы , , .

Таким образом, по определению .

Нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке.

2.2. Производные основных элементарных функций

В любой точке области определения основных элементарных функций справедливы формулы:

(xⁿ)¢ = n× x^{n – 1}, в частности ; (8)

(a^x)¢ = a^x × ln a, в частности (e^x)¢ = e^x; (9)

, в частности ; (10)

(sin x)¢ = cos x; (11)

(cos x)¢ = – sin x; (12)

; (13)

; (14)

; (15)

; (16)

; (17)

. (18)

2.3. Правила вычисления производных

Пусть функции и дифференцируемы в точке х и С — постоянная величина. Тогда:

С¢ = 0; (19)

(С∙ U)¢ = С× U ¢; (20)

(U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢; (21)

(U × V)¢ = V∙ U ¢ + U∙ V ¢; (22)

, V ¹ 0. (23)

Пример 9. Найти если .

Решение. Используя формулы (21, 20, 9, 8) получим:

.

Пример 10. Найти производную функции .

Решение. .

Здесь использованы формулы (22, 10, 8).

Пример 11. Найти производную функции .

Решение. Производную частного находим по формуле (23):

.

2.4. Производная сложной функции

Если y является функцией от u, а u зависит от x, то y также зависит от x. Пусть , а . Тогда функция называется функцией от функции или сложной функцией переменной х. Переменная u называется промежуточным аргументом, а х — основным.

Теорема 6. Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в соответствующей точке u, то сложная функция дифференцируема в точке x и справедлива формула:

.

Правило дифференцирования сложной функции может быть записано в другой форме:

, (24)

здесь индексы u и x указывают, по какой переменной берется производная.

Пример 12. Найти производную функции .

Решение. Данную функцию можно представить в виде , . Найдем ; . Тогда по формуле (24):

.

Замечание. Если число простейших функций, из которых составлена сложная функция, больше двух, то ее производная вычисляется последовательным применением формулы (24).

Пример 13. . Вычислить .

Решение. .

2.5. Производная неявной функции

Определение 5. Функция называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением

, (25)

не разрешенным относительно y.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение (25) продифференцировать по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 14. Найти производную функции , заданной уравнением .

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по х, учитывая, что y есть функция от х:

.

Из полученного уравнения находим :

.

3. Исследование функции с помощью производной

3.1. Возрастание и убывание функций

Определение 6. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух значений х ₁ и х ₂ из этого интервала при х ₂ > х ₁.

Определение 7. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух значений х ₁ и х ₂ из этого интервала при х ₂ > х ₁.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интерваламимонотонности функции.

Теорема 7 (Достаточный признак возрастания и убывания функции). Если во всех точках некоторого интервала выполняется условие , то в этом интервале функция f (x) возрастает, если же во всех точках некоторого интервала , то функция убывает в этом интервале.

Замечание. Теорема остается справедливой, если производная обращается в нуль в отдельных точках интервала, не заполняющих никакого отрезка.

3.2. Экстремумы функций

Определение 8. Точка х _о называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки х _о выполняется неравенство .

Определение 9. Точка х _о называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки х _о выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.

Если функция имеет экстремум в точке х _о, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Сформулированное условие называется необходимым условием существования экстремума.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими точками (первого рода).

Замечание. Необходимое условие экстремума не является достаточным, так как наличие у функции критической точки вовсе не означает, что функция в этой точке обязательно достигает экстремума.

Теорема 8 (достаточный признак существования экстремума). Если х _о— критическая точка функции и при переходе через х _о производная меняет знак с плюса на минус, то х _о является точкой максимума функции, а если с минуса на плюс, то х _о — точка минимума.

3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 10. График функции называется выпуклым в некотором интервале, если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.

Определение 11. График функции называется вогнутым в некотором интервале, если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.

Теорема 9 (достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой). Если во всех точках некоторого интервала , то в этом интервале график функции вогнутый, если , то график функции выпуклый.

Определение 12. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба состоит в том, что если М _о(x _o, y _o) — точка перегиба кривой, то вторая производная в точке x _o равна нулю или не существует.

Точки, в которых равна нулю или не существует называются критическими точками (второго рода).

Теорема 10 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть x _o — критическая точка второго рода функции . Если при переходе через точку х _о вторая производная меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х = х _о является точкой перегиба.

Пример 15. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Функция определена и непрерывна в интервале . Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную и решим уравнение . Получим х ₁=0, х ₂=3. Это критические точки. Других критических точек у функции нет, так как производная существует на всей числовой оси.

Точки х ₁ = 0 и х ₂ = 3 разбивают область существования функции на интервалы , , . В каждом из них функция монотонна и производная сохраняет свой знак.

Для определения знака производной в каждом интервале выберем точки, например, х = -1, х = 1, х = 5 и найдем , , . По теореме 7 заключаем, что в интервалах и функция возрастает, а в интервале — убывает.

Определим точки экстремума. По необходимому условию существования экстремума их следует искать среди критических точек первого рода.

При переходе через точку х =0 производная знак не меняет, следовательно, по теореме 8 экстремума в ней нет.

При переходе через точку х =3 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно в точке х =3 функция имеет максимум. Вычислим его: .

Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого найдем .

Полученная производная всюду существует, а в точках х =0 и х =2 обращается в нуль. Это и есть критические точки второго рода. Они разбивают область определения функции на интервалы , , .

Возьмем какие-нибудь точки из этих интервалов, например, х =-1, х =1, х =5 и найдем , , .

По теореме 9 заключаем, что в интервалах , кривая выпуклая, в интервале — вогнутая.

Так как при переходе через точки х =0 и х =2 вторая производная меняет знак, то график функции имеет две точки перегиба с абсциссами х =0 и х =2 (теорема 10). Вычислим и . Следовательно точки (0, 0) и (2, ) — точки перегиба.

Точки пересечения кривой с осью O х найдем из уравнения y =0, . Получим х =0 и х =4.

По результатам исследования строим график функции (рис.1).

Рис.1.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание № 1. Найти пределы функций

№ 1. а) ; б) ; в) .

№ 2. а) ; б) ; в) .

№ 3. а) ; б) ; в) .

№ 4. а) ; б) ; в) .

№ 5. а) ; б) ; в) .

№ 6. а) ; б) ; в) .

№ 7. а) ; б) ; в) .

№ 8. а) ; б) ; в) .

№ 9. а) ; б) ; в) .

№ 10. а) ; б) ; в) 5 х ctg3 x.

№ 11. а) ; б) ; в) .

№ 12. а) ; б) ; в) .

№ 13. а) ; б) ; в) .

№ 14. а) ; б) ; в) .

№ 15. а) ; б) ; в) .

№ 16. а) ; б) ; в) .

№ 17. а) ; б) ; в) .

№ 18. а) ; б) ; в) .

№ 19. а) ; б) ; в) .

№ 20. а) ; б) ; в) х ctg3 x.

№ 21. а) ; б) ; в) .

№ 22. а) ; б) ; в) .

№ 23. а) ; б) ; в) .

№ 24. а) ; б) ; в) .

№ 25. а) ; б) ; в) .

№ 26. а) ; б) ; в) .

№ 27. а) ; б) ; в) .

№ 28. а) ; б) ; в) .

№ 29. а) ; б) ; в) .

№ 30. а) ; б) ; в) .

Задание № 2. Найти производные данных функций

№ 1. а) у = ; б) у = sin⁴5 x + cos⁴5 x; в) х ² у – ух = 5.

№ 2. а) у = ; б) у = (e ^{cos x} + 3)²; в) ln(x + y) = xy ².

№ 3. а) у = ; б) у =ln sin(2 x + 5); в) х ² – 6 у + у ³ = 5.

№ 4. а) у = 2 ; б) у = arctg e^x; в) у sin x= cos(x + y).

№ 5. а) у = ; б) у = 2tg³(x ²+ 1); в) хе^у + 1 – у = 0.

№ 6. а) у = ; б) у = ln²(3 x + 1); в) х – у + arctg y = 0.

№ 7. а) у = ; б) у = ; в) y ln x – x ln y = 1.

№ 8. а) у = ; б) у = ; в) х ³ + ху ² + у ³ = 8.

№ 9. а) у = ; б) у = arctg tg² x; в) у ² – 1 = 2 ху.

№ 10. а) у = ; б) у = ln⁴(x ³ + 3); в) y sin x – cos y = 0.

№ 11. а) у = (1 + )³; б) у = tg² x + ln cos x; в) е^у – ху = 0.

№ 12. а) у = ; б) у = ln tg ; в) у = sin (x + 2 y).

№ 13. а) ; б) ; в) х – у + sin y = 0.

№ 14. а) ; б) ; в) .

№ 15. а) ; б) у= sin(x + sin x); в) е^у + ху = е.

№ 16. а) ; б) ; в) arctg y = x+ y.

№ 17. а) ; б) ; в) 10 ^у = 8 ^х.

№ 18. а) ; б) ; в) 2 у ln y = x.

№ 19. а) ; б) ; в) .

№ 20. а) ; б) ; в) 2 у = 1 + ху³.

№ 21. а) ; б) ; в) cos (x + y) = x.

№ 22. а) ; б) ; в) .

№ 23. а) ; б) ; в) .

№ 24. а) ; б) ; в) .

№ 25. а) ; б) ; в) .

№ 26. а) ; б) ; в) .

№ 27. а) ; б) ; в) .

№ 28. а) ; б) ; в) .

№ 29. а) ; б) ; в) .

№ 30. а) ; б) ; в) .

Задание № 3. Исследовать функцию и построить её график

№ 1. у = 1 + 2 х ² – .

№ 2. у = х ³ + .

№ 3. у = 9 х ² (1 – х).

№ 4. у = .

№ 5. у = х ³ + 2 х ² + 6 х.

№ 6. у = 2 х ⁴ – х ² + 1.

№ 7. у = .

№ 8. у = (х ⁴ – 6 х ² + 5).

№ 9. у = х ³ – 3 х ² + 4.

№ 10. у = х ⁴–2 х ² + 10.

№ 11. у = (х ³ – 6 х ² – 36 х + 5).

№ 12. у = 2 + х ² – .

№ 13. у = х ³ – 4 х + 7.

№ 14. у = (х ³ – 3 х ² + 4).

№ 15. у = 2 х ³ – 3 х ² – 12 х + 11.

№ 16. у = х ⁴ – 8 х ³ + 22 х ² – 24 х.

№ 17. у = 36 х – 3 х ² – 2 х ³.

№ 18. у = х ⁴ – 8 х ² – 9.

№ 19. у = х ³ + 5 х ² + 9 х – 2.

№ 20. у = 2 х ³ – 6 х ²– 18 х + 7

№ 21. у = х ⁴ + 4 х ³ – 2 х ²– 12 х + 5

№ 22. у = 2 х ³ – 3 х ².

№ 23. у = (х – 1)² (х + 2).

№ 24. у = 2 х ³ – 6 х ² – 18 х+ 4.

№ 25. у = (х ³ – 6 х ² + 25)

№ 26. у = х (2 – х)².

№ 27. у = х ³ – 5 х ² + 8 х.

№ 28. у = .

№ 29. у = х ²(4 – х)².

№ 30. у = х ³ – 12 х ² + 36 х.