СЛУ. Теорема Крамера-Капелли

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (линейная система) имеет следующий вид:

(1)

Где х₁, х₂, …, х_n-неизвестные, а₁₁, а₁₂, …, а_mn – коэффициенты системы, b₁, b₂, …, b_m – свободные члены.

У коэффициентов a_ij i-номер уравнения, j-номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Если все свободные члены b₁, b₂, …, b_m равны 0, то система (1) называется однородной. Если хотя бы один из b₁, b₂, …, b_m отличен от 0, система (1) - неоднородная.

Система (1) называется квадратной, если m=n.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел с₁, с₂, …, с_n, которая при подстановке в систему вместо неизвестных х₁, х₂, …, х_n обращает все уравнения системы в тождество.

СЛАУ можно записать в виде (i=1, 2, …, m) (2)

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

СЛАУ

Пример. несовместная система.

-неопределенная (х₁=с, х₂=5-3с)

Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему уравнений в матричной форме.

А= (3), Х= (4), В= (5)

Где А- матрица системы, Х- матрица-столбец переменных, В- матрица-столбец свободных членов.

- матрица-столбец.

Элементы этой матрицы-левые части системы (1). Т.о. систему можно записать в матричном виде: АХ=В (6)

-А^* = (А|В) расширенная матрица системы (1)

Решение матричного уравнения (6) заключается в отыскании такого столбца (4), который при заданной матрице (3) и заданном столбце (5) обращает уравнение (6) в тождество.

Систему (1) можно записать и в векторной форме:

х₁+ х₂+…+ х_n=

Или, обозначая столбцы соответственно a₁, …, a _n, В

a₁x₁+…+a_nx_n=В (7)

Т.о., решение СЛАУ можно трактовать как представление столбца В в виде линейной комбинации столбцов a₁, …, a _n.

Т.о., в отношении системы (1) мы должны научиться устанавливать следующие факты:

1) является ли система (1) совместной;

2) является ли система (1) (в случае ее совместности) определенной или нет;

3) способ отыскания единственного решения совместной системы (1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).

Теорема Крό некера-Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для того, чтобы система линейных уравнений (1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть r=rgA r£ r(A|В). Поэтому достаточно показать, что ранг матрицы А не меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. r³ r(A|В). Пусть система (1) совместна.

Это означает, что столбец В= в расширенной матрице системе является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Без ограничения общности, пусть он будет расположен в верхнем левом углу, т.е. М_r= .

По теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как " j> k существуют такие числа l_ijÎ R, i=1, 2, …, k a _j=l_1j a ₁+l_2j a ₂+…+l_rj a _r,

Где a _j – j-й столбец матрицы А.

Тогда столбец b = a₁ x₁+…+ a_r x_r+ a _r+1x_r+1+…+ a _nx_n=

= a ₁x₁+…+ a _rx_r+(l_{1, r+1} a ₁+l_{2, r+1} a ₂+…+l_{r, r+1} a _r)x_r+1+…+(l_1n a ₁+l_2n a ₂+…+l_{r n} a _r)x_n

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это значит, что М_r является также базисным минором расширенной матрицы (A|В), т.к.

1) он ненулевой;

2) если взять какой-либо окаймляющий минор М¢, то либо он будет минором матрицы А, т.е. ненулевым, либо он будет содержать столбец В и, следовательно, не может быть ненулевым, т.к. его столбцы линейно зависимы. Поэтому rg (A|В)=rg A.

Достаточность. Пустьrg (A|В)=rg A. выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным и в матрице (A|В). Значит, столбец В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a₁, …, a_r:

В= a₁ x¢ ₁+…+ a_r x¢ _r.

Полагая x¢ _r+1=x¢ _r+2=…=x¢ _n=0, получаем решение x¢ ₁, …, x¢ _n исходной СЛАУ, т.к.

В= a₁ x¢ ₁+…+ a_r x¢ _r= a₁ x¢ ₁+…+ a_r x¢ _r+0a_r+1+…+0a_n.

Это означает, что СЛАУ совместна.
9. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Формулы Крамера. Матричный способ решения СЛУ.