Теорема о базисном миноре. Методы вычисления ранга матрицы

Теорема 2 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство. (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.

Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы

А= , т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£ j£ n, 1£ i£ m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка

равен 0.

Если j£ r или i£ r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Если же j> r и i> r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем

a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_rjA_rj+a_ijA_ij=0, где последнее алгебраическое дополнение A_ij совпадает с базисным минором М_r и поэтому A_ij= М_r≠ 0.

Разделив последнее равенство на A_ij, можем выразить элемент a_ij, как линейную комбинацию: , где .

Зафиксируем значение i (i> r) и получаем, что для любого j (j=1, 2, …, n) элементы i-й строки e_i линейно выражаются через элементы строк е₁, е₂, …, е_r, т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.

Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Доказательство (с.40). Необходимость. Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r< n. Тогда хотя бы одна из его строк является не базисной. По теореме 2 эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию можно включить и все оставшиеся строки с коэффициентами 0.

Т.о., одна строка является линейной комбинацией других остальных. Тогда по теореме 1 строки определителя линейно зависимы.

Достаточность. Если строки D линейно зависимы, то по теореме 1 одна строка А_i является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А_i указанную линейную комбинацию, не изменив величины D, получим нулевую строку. Следовательно, по свойствам определителей, D=0. ч.т.д.

Т.о. можно считать, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

Теорема 4. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство. Как было показано при рассмотрении свойств определителей, при преобразованиях квадратных матриц их определители либо не изменяются, либо умножаются на ненулевое число, либо меняют знак. При этом наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы сохраняется, т.е. ранг матрицы не изменяется. Ч.т.д.

Если r(A)=r(B), то А и В – эквивалентные: А~В.

Теорема 5. При помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду. Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:

А= , где a_ii≠ 0, i=1, 2, …, r; r≤ k.

Условия r≤ k всегда можно достигнуть транспонированием.

Теорема 6. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Т.е. Ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. есть отличный от нуля минор порядка r: