Основное свойство первообразной.

Две первообразные одной и той же функции на одном и том же промежутке могут отличаться только на постоянное слагаемое.

Множество всех первообразных для данной функции f (x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Следовательно, если F (x) есть первообразная для f (x) на (a; b), то = F (x) + C.

Здесь ∫ – знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла от f (x) называется интегрированием функции f (x).

Свойства неопределенного интеграла.

1. (∫ f (x) dx) ′ = f (x).

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d (∫ f (x) dx) = f (x) dx.

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫ d (F (x)) = F (x) + C.

4. ∫ аf (x) dx = а∫ f (x) dx, где а – постоянная.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5. ∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx.

Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

6. Если ∫ f (x) dx = F (x) + C, то ∫ f (u) du = F (u) + C.

Значение неопределённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таблица основных интегралов.

1. .

2. , ().

3. , ().

4.

4′.

5.

6.

7.

8.

9. , ().

9′.

10. , ()-«высокий логарифм”.

11. , ().

11′.

12. , () – «длинный логарифм”.