Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

5.1. Интегралы вида

Случай 1. n – нечетное положительное число. В этом случае применяется подстановка t = sin x.

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Здесь n = 5 – нечетное положительное число, . При вычислении данного интеграла будем использовать основное тригонометрическое тождество .

.

Ответ:

Случай 2. m – нечетное положительное число. В этом случае применяется подстановка t = cos x.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Здесь n = – 2; m = 7 – нечетное положительное число. Применяем подстановку t = cos x; dt = – sin xdx. Получаем

.

Ответ:

Случай 3. m и n – четные положительные числа, . В данном случае преобразуем подынтегральную функцию с помощью формулы

.

Пример 3. Вычислить .

Решение.

m = n = 6 – четное положительное число. Поэтому .

Применим формулу понижения степени .

К первому интегралу применяем формулу понижения степени , а ко второму подстановку

.

Ответ:

Случай 4. m и n – четные положительные числа, m ¹ n. В этом случае преобразуем подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени: , .

Пример 4. Вычислить

Решение.