Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Доказательство тождеств в алгебре множеств.
= {M; }, где М , алгебра множеств. (а готическое рукописное). объекты операции В алгебре множеств рассматриваются основные тождества и свойства этих тождеств. Рассматриваются уравнения двух типов 1) U(A, B, C…) = B(A, B, C…) множества заданы подмножествами А, В, С… 2) U(А, В, С…) = 0 Докажем эти тождества. Существует 3 метода доказательства тождеств: 1. геометрический, 2. аналитический (с использованием понятия эвристики), 3. аналитический (с использованием основных свойств теоретико-множественных операций). Рассмотрим геометрический метод доказательства для первого тождества на примере: U(A, B, C…) = B(A, B, C…)
Картинки аудентичны (доподлинно одинаковы по построению) Преимущество геометрического метода: наглядность. Недостаток: при большом количестве множеств, участвующих в построении (более 5), теряется наглядность данного метода. Аналитический метод исправляет недостаток геометрического метода, но сам он не наглядный. U(A, B, C…) = B(A, B, C…) = D F 1) (А = В) = А В и В 2) (А В) = ( х) [х А х В] условия равенства двух множеств 3) (В А) = ( х) [х В х А] (D = F) = D F и F (D F) = ( х) [х D х F] x D = x A (B C) =
D по свойству теоретико-множественных операций переходим к более простому виду записи: = x A и x A (B C) = x A и [x В или x С] = Сейчас мы должны перейти к методам эвристики. Эвристический путь сокращает перебор решений. При эвристическом пути рассуждать необходимо после рассмотрения левой части доказываемого множества (рассмотрение до уровня разложения на элементы отношения принадлежности и простейшие логические союзы (и, или)) перейти к рассмотрению таким же образом правой части. = (x A и x В) или (x A и x С). = [x (A В)] или [x (A С)] = x [(A В) (A С)] F Взяв х – произвольный элемент во множестве D, мы обнаружили его во множестве F. Аналогичным образом докажем: ( х) [х F х D] = F D и получим конечный результат: (D = F) = D F и F . Рассмотрим 3-й метод для второго вида тождеств: (A, B, C, …)=0; А\[(А В) (А\В)] =
По свойству дистрибутивности исходное тождество можно переписать следующим образом: А\{[А (А\В)] [В (А\В)]} = А\{А (А В)} = А\А = А А В Этот метод наиболее продуктивен, но требует знания основных свойств теоретико-множественных операций и умении пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.
|