Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времени t= 0 (рис. 19, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки (рис. 19, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19, г), и система к моменту времени t=Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины заряда q на обкладках конденсатора, напряжения U_C на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение U_C на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть:

Исходя из того, что U_C=q/C, а I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

Решением этого дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

q ₀ – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;

– круговая (или циклическая) частота колебаний (

);

/ T (T – период колебаний,

– формула Томсона);

– начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t =0.

Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний. В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R, отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:

где

– электродвижущая сила самоиндукции в катушке;

Исходя из того, что I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t;

q ₀ – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда;

– круговая (или циклическая) частота колебаний (

);

– фаза затухающих колебаний в момент времени t;

Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре:

Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряжения U (t):

В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний примет вид:

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q (t):

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими, а амплитуда

и фаза колебаний

определяются следующими выражениями:

Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда

имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте, близкой частоте

, называется резонансом.

Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость распространения которых определяется выражением:

где

– соответственно электрическая и магнитная постоянные,

e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды,

В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света(с), что согласуется с теорией Максвелла о том,

что свет представляет собой электромагнитные волны.

По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными, то есть векторы

напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору

скорости распространения волны, причем векторы

образуют правовинтовую систему (рис. 20).

Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы

колеблются в одинаковых фазах (рис. 20), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением:

Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы

направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 20):

где E ₀ и Н ₀– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей,

w – круговая частота волны,

(T – период колебаний),

j – начальная фаза колебаний (начальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромагнитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах).

Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w_эл электрического и w_м магнитного полей:

Учитывая выражение связи между величинами Е и Н, можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и магнитного полей:

Умножив плотность энергии w на скорость

распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии:

Tax как векторы

взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора

(

– векторное произведение векторов

). Кроме того, направление вектора

совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести в ектор , равныйвекторному произведению

, как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемый вектором Умова – Пойнтинга:

Итак, вектор

направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.