💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим методы вычисления интегралов от простейших рациональных дробей.

;

;

3)

Данный интеграл вычисляется следующим образом: в числителе дроби, стоящей под интегралом, записывается производная знаменателя, т.е. . Тождественными преобразованиями из получают заданный числитель . Для этого следует умножить на и к полученному произведению прибавить . Очевидно, что

Преобразованная дробь имеет вид:

Первая дробь интегрируется методом поднесения переменного множителя под знак дифференциала, что приводит к натуральному логарифму модуля знаменателя.

Для интегрирования второй дроби в знаменателе выделяют полный квадрат:

Интеграл второй дроби приводится к табличному интегралу

, если .

Если в знаменателе дроби вместо трёхчлена x²+px+q стоит трёхчлен ax²+bx+c (a≠ 0), то коэффициент a выносится за скобку и данный случай сводится к предыдущему.

2.1 Вычислить интегралы:

1 а) ; б) ; в) .

2 а) ; б) ; в) .

3 а) ; б) ; в) .

4 а) ; б) ; в) .

5 а) ; б) ; в) .

6 а) ; б) ; в) .

7 а) ; б) ; в) .

8 а) ; б) ; в) .

9 а) ; б) ; в) .

10 а) ; б) ; в) .

4) Интеграл вида где знаменатель не имеет действительных корней, сводится к вычислению двух интегралов. Это достигается следующим образом: в числителе записывается производная основания степени знаменателя, т.е. (x²+px+q)' = 2x+p и так же, как в предыдущем пункте, эта производная преобразовывается в выражение Ax+B, стоящее в числителе:

Интегрирование первой дроби описано в пункте 3. Рассмотрим вторую дробь

. Если обозначить то

и таким образом интегрирование второй дроби в правой части сводится к интегрированию дроби . Интеграл вычисляется по формуле

где . Данная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального .

2.2 Вычислить интегралы

1 а) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 а) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 а) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) .