Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интегрирование простейших рациональных дробей
Рассмотрим методы вычисления интегралов от простейших рациональных дробей. ; ; 3) Данный интеграл вычисляется следующим образом: в числителе дроби, стоящей под интегралом, записывается производная знаменателя, т.е. . Тождественными преобразованиями из получают заданный числитель . Для этого следует умножить на и к полученному произведению прибавить . Очевидно, что Преобразованная дробь имеет вид: Первая дробь интегрируется методом поднесения переменного множителя под знак дифференциала, что приводит к натуральному логарифму модуля знаменателя. Для интегрирования второй дроби в знаменателе выделяют полный квадрат: Интеграл второй дроби приводится к табличному интегралу , если . Если в знаменателе дроби вместо трёхчлена x2+px+q стоит трёхчлен ax2+bx+c (a≠ 0), то коэффициент a выносится за скобку и данный случай сводится к предыдущему.
2.1 Вычислить интегралы: 1 а) ; б) ; в) . 2 а) ; б) ; в) . 3 а) ; б) ; в) . 4 а) ; б) ; в) . 5 а) ; б) ; в) . 6 а) ; б) ; в) . 7 а) ; б) ; в) . 8 а) ; б) ; в) . 9 а) ; б) ; в) . 10 а) ; б) ; в) .
4) Интеграл вида где знаменатель не имеет действительных корней, сводится к вычислению двух интегралов. Это достигается следующим образом: в числителе записывается производная основания степени знаменателя, т.е. (x2+px+q)' = 2x+p и так же, как в предыдущем пункте, эта производная преобразовывается в выражение Ax+B, стоящее в числителе: Интегрирование первой дроби описано в пункте 3. Рассмотрим вторую дробь . Если обозначить то и таким образом интегрирование второй дроби в правой части сводится к интегрированию дроби . Интеграл вычисляется по формуле где . Данная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального .
2.2 Вычислить интегралы 1 а) ; б) ; 2 а) ; б) ; 3 а) ; б) ; 4 а) ; б) ; 5 а) ; б) ; 6 а) ; б) ; 7 а) ; б) ; 8 а) ; б) ; 9 а) ; б) ; 10 а) ; б) .
|