Методические указания 4 страница

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби (3.19) соответственно и :

(3.20)

Приравниваем знаменатель выражения (3.20) к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

(3.21)

Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:

(3.22)

(3.23)

Найдем производную от знаменателя дроби (3.20) то есть :

(3.24)

В соответствии с теоремой разложения имеет вид:

(3.25)

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (3.20) первый корень характеристического уравнения (3.22):

(3.26)

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (3.20) второй корень характеристического уравнения (3.23):

(3.27)

В выражение (3.24) подставим первый корень характеристического уравнения (3.22) и получим:

(3.28)

В выражение (3.24) подставим второй корень характеристического уравнения (3.23) и получим:

(3.29)

Подставляем найденные значения (3.26), (3.27), (3.28) и (3.29) в выражение (3.25):

(3.30)

Получили выражение, представляющее собой импульсную характеристику заданного четырехполюсника (3.30).

Графики переходной и импульсной характеристик, в случае, когда корни характеристического уравнения комплексно – сопряженные, приведены в Приложении В.

Данные расчёта переходной и импульсной характеристик, в случае, когда корни характеристического уравнения комплексно - сопряженные приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 - Данные расчёта переходной и импульсной характеристик, в случае, когда корни характеристического уравнения комплексно – сопряженные.

		0

4 Расчет - параметров четырехполюсника

При записи уравнений в форме положительное направление токов выбирается согласно рисунку 4.1. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приёмником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Рисунок 4.1 – Положительное направление токов и напряжений четырехполюсника

Вариант с токами и называется прямой передачей, вариант с токами и называется обратной передачей.

Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты: и - безразмерные, - имеет размерность сопротивлений, имеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены следующим образом (рисунок 4.1):

- отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;

- отношение токов при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных зажимах;

- величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных зажимах;

В нашем случае расчет - параметров будет произведен через параметры холостого хода и короткого замыкания.

Коэффициенты и представляют собой входные проводимости четырехполюсника рисунок 4.1, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно и представляют собой

входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.
Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты :

В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов получаем:

Основываясь на наше задание начнем расчет - параметров с того, что рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания для заданной цепи (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 – комплексная схема замещения рассчитываемой цепи

Сопротивления холостого хода цепи найдем, используя выражения (4.1) и (4.3):

(4.1)

где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1’, в режиме

холостого хода на зажимах 2 – 2’, Ом. То есть зажимы 2 -2’ не подключены. Таким образом токи заданной цепи будут проходить через все элементы (рисунок 4.2), поэтому будем определять выражением (4.1).

- комплексное сопротивление катушки;

- комплексное сопротивление конденсатора;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление резистора .

Преобразуем выражения (4.1) и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :

(4.2)

(4.3)

где - сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме холостого хода на зажимах 1 – 1’, Ом. То есть зажимы 1 – 1’ разомкнуты и ток не будет проходить через конденсатор, а будет протекать в направлении резистора (рисунок 4.4), поэтому будет определяться выражением (4.3).

- комплексное сопротивление катушки;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление резистора .

Рисунок 4.4 – Распределение токов в режиме холостого хода

Аналогичным образом преобразуем выражение (4.3) и подставляем численные значения:

(4.4)

Сопротивления короткого замыкания цепи найдем, используя выражения (4.5) – (4.7):

(4.5)

где - входное сопротивление со стороны зажимов 1 – 1’, при закороченных зажимах 2 – 2’, Ом. Так как зажимы 2 – 2’ соединены между собой, соответственно ток третий, протекающий через резистор не будет проходить через катушку, а пойдет по пути наименьшего сопротивления (рисунок 4.3), поэтому будет определяться выражением (4.5);

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление конденсатора.

Рисунок 4.5 – Распределение токов в режиме короткого замыкания со стороны зажимов 2 – 2’

Преобразуем выражения (4.5) и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :

(4.6)

(4.7)

где - входное сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме короткого замыкания на зажимах 1 – 1’, Ом. То есть зажимы 1 – 1’ соединены между собой и токи, протекающие в заданной схеме, будут проходить через все элементы цепи (рисунок 4.4). Поэтому будет определяться выражением (4.7).

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление резистора ;

- комплексное сопротивление конденсатора;

- комплексное сопротивление катушки.

Рисунок 4.6 – Распределение токов в режиме короткого замыкания со стороны зажимов 1 -1’

Преобразуем выражения (4.7) и подставляем численные значения для нахождения комплексного сопротивления :

(4.8)

Используя значения определяю - параметры по формулам (4.9) – (4.12):

(4.9)

где - коэффициент передачи по напряжению;

- входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1’, в режиме

холостого хода на зажимах 2 – 2’, Ом;

- сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме холостого хода на зажимах 1 – 1’, Ом;

- входное сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме короткого замыкания на зажимах 1 – 1’, Ом;

Подставляем ранее вычисленные значения сопротивлений (4.2), (4.4) и (4.8) в выражение (4.9) и вычисляем:

(4.10)

(4.11)

где - передаточное сопротивление, Ом;

- входное сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме короткого замыкания на зажимах 1 – 1’, Ом.

(4.12)

(4.13)

где - передаточная проводимость, См;

- входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1’, в режиме

холостого хода на зажимах 2 – 2’, Ом;

- коэффициент передачи по напряжению.

(4.14)

(4.15)

где - отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов;

- коэффициент передачи по напряжению;

- входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1’, в режиме

холостого хода на зажимах 2 – 2’, Ом;

- сопротивление со стороны зажимов 2 – 2’, в режиме холостого хода на зажимах 1 – 1’, Ом.

(4.16)

Проверяем правильность расчетов - параметров, используя тождество (4.13):

(4.17)

где - коэффициент передачи по напряжению;

- отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов;

- передаточное сопротивление, Ом;

- передаточная проводимость, См.

Подставляем численные значения полученных - параметров (4.10), (4.12), (4.14), (4.16) в выражение (4.17) и получаем:

(4.18)

Можно сделать вывод, что расчеты выполнены правильно, с учетом допустимой погрешности.

5 Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Характеристические сопротивления будут выглядеть следующим образом:

Рисунок 5.1 - Несимметричный четырехполюсник при прямой и обратной передаче (а и б - произвольная нагрузка; в и г - согласованная нагрузка)

Положим, что сопротивления и в схемах рисунок 5.1 а и б подобраны таким образом, что и . Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: и , которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 5.1 в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рисунок 5.1, г).
Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.
Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Предположим, что

Тогда получим:

Совместное решение этих уравнений относительно и дает:

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр , удовлетворяющий условиям:

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами соответствует тригонометрической формуле:

Параметр в общем случае комплексный; называется характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть - А называется постоянной ослабления четырехполюсника, а мнимая часть В — постоянной фазы.
Децибел – единица затухания, в 10 раз меньшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1, 26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1, 12 раза. Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в 2, 718 раза.

Расчет этой характеристики будем реализовывать двумя способами, для того чтобы можно было проверить правильность расчета. В обоих случаях, при правильном решении, должны совпадать результаты решений.