Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Исходные данные для типового расчета




q1 q2 z1 z2 z3 R C A
-3   0,30 0,35  


1. Найдем сначала недостающие значения параметров. Известно, что наша случайная величина распределена с постоянной плотностью 0,35 в интервале (–3; q2), попадает с вероятностью 0,30 в интервал (0, 2) и имеет там плотность распределения
φ(x) = A·|x – 2|.
Находим вероятность попадания случайной величины Х в интервал (–3;q2):
P(–3 < X < q2) = 1 – 0,3 = 0,7.
C другой стороны, вероятность этого события можно найти как площадь криволинейной трапеции (в нашем случае прямоугольника), расположенной над интервалом (–3; q2) и ограниченной сверху кривой распределения, P(–3 < X < q2) = 0,35·(q2 – (–3)) = 0,7. Отсюда получаем q2 = –1.
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 2) можно вычислить с помощью интеграла (2.3):

Так как для x є (0,2) |x – 2| = 2 – x, то

2. Теперь можно записать плотность распределения вероятностей нашей случайной величины X:


На рис. 3 представлен график функции плотности у = φ(x).


Рис. 3


Далее отметим, что в каждой точке х значение функции F(x) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью 0х и лежащей левее перпендикуляра, восстановленного из точки х, поэтому уже сейчас можем приближенно построить график функции F(x).
В интервалах, где φ(х) = 0, функция F(x), очевидно, постоянна, причем для x ≤ –3, F(x) ≡ 0, при x ≥ 2 F(x) ≡ 1, а в интервале (–1; 0) F(x) = 0,7 = Р(–3 < X < –1).
Далее, при движении х вправо внутри интервала (–3; –1) F(x) “равномерно” возрастает от 0 до 0,7 – поэтому здесь ее график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (–3; 0) и (–1; 0,7). Внутри интервала (0; 2) функция F(x) растет не равномерно: к концу интервала рост F(x) уменьшается и совсем прекращается в т. x = 2. Ясно, что в этом интервале график функции F(x) представляет собой отрезок параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (2; 1). Так как F(x) – непрерывная функция, то парабола должна проходить через точку (0; 0,7). Построенный таким образом график функции распределения y = F(x) изображен на рис. 4.


Рис. 4


3. Найдем функцию распределения случайной величины Х аналитически согласно (2.5).
Для х є (–∞; –3]
для х є (–3; –1]
для х є (–1; 0]
для х є (0; 2]
= 1 – 0,0075(x – 2)2
И далее F(x) = 1(x > 2).
Итак, выпишем функцию распределения

и сопоставим ее с графиком функции F(x), полученным выше: они полностью соответствуют друг другу.
4. Найдем числовые характеристики случайной величины X:
а) математическое ожидание (2.10):

б) дисперсию (2.11):

D(X) = M(X 2 ) – M(X))2 = 3,233 – (–1,2)2 = 1,793;
в) среднее квадратичное отклонение

5. Вычислим вероятность события по формуле (2.3)
P(|XM(X)| < σ(X)) = P(–1,2 – 1,339 < X < –1,2 + 1,339) =

Для контроля вычислим вероятность того же события, используя функцию распределения (2.7).
P(–2,539 < X < 0,139) = F(0,139) – F(–2,539) = 0,579.
6. Найдем медиану mX случайной величины X. По определению
P(X < mX) = P(X > mX) = 0,5,
т.е. площади двух криволинейных трапеций, ограниченных кривой распределения и расположенных слева и справа от mX, должны быть равны. Поэтому очевидно, что в нашем случае точка mX должна принадлежать интервалу (–3; –1). Имеем:
– 3 < x ≤ 1; F(x) = 0,35(x + 3).
Решая уравнение F(x) = 1/2, находим медиану
mX = – 11/7 = – 1,571.




mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал