Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгебраїчні критерії стійкості
Перший алгебраїчний критерій, який можна використовувати для системи 3-го порядку, був сформульований І.А.Вишнеградським в 1876 р.: для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням необхідне виконання двох умов: 1) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними; 2) похідна середніх коефіцієнтів повинна бути більша від похідної крайніх . В коефіцієнти рівнянь входять лише значення параметрів системи, тому стійкість останньої визначається тільки параметрами і не залежить від їх стану. Для визначення систем будь-якого типу порядку використовують критерії Гурвіца та Рауса. Критерій Гурвіца більш простіший, тому його використовують частіше. Він формулюється так: Система з характеристичним рівнянням буде стійкою, якщо визначник і всі його діагональні мінори додатні: . При складанні визначника Гурвіца спочатку по діагоналі розміщують коефіцієнти, починаючи з до :
. (4.8) Потім визначник заповнюють по стовпцях: вище діагональних коефіцієнтів записуються коефіцієнти із індексами, що зменшуються, а нижче – із зростаючими. При досягненні нульового або n-го індексу далі ставляться нулі. Кожен діагональний мінор визначника Гурвіца отримують з попереднього мінору шляхом викреслювання нижнього рядка і правого стовпчика. Мінор отримують з визначника Гурвіца за загальним правилом, тобто шляхом викреслювання з нижнього рядка і правого стовпчика. Нижчий діагональний мінор Гурвіца . Як приклад використаємо критерій Гурвіца для визначення стійкості системи з характеристичним рівнянням .
Складемо визначник Гурвіца і його діагональні мінори Звідси видно, що визначник Гурвіца і його діагональні мінори додатні. Отже, система, що досліджується, стійка. Позитивною ознакою алгебраїчних критеріїв є простота використання, а недоліком – те, що вони не дозволяють оцінити вплив на стійкість системи параметрів окремих її елементів. Цього недоліку можна позбутися за допомогою графоаналітичного критерію А.В.Михайлова.
|